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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+1$.
- Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$
- Démontrer cette limite.
limite $+\infty$ en $+\infty$
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)>A$On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $x> X_0$ on ait $f(x) > A$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut.Pour tout $A > 0$, si $x>\sqrt{A}$ alors $x^2>A$ donc $x^2+1>A$.
En prenant $X_0=\sqrt{A}$, on a:
Pour tout réel $A >0$, il existe une réel $X_0$ tel que $f(x) > A$ pour tout $x> X_0$.
En utilisant les notations $\exists$ et $\forall$, on peut écrire:
$\forall A>0$, $\exists X_0$ tel que $\forall x>X_0$ on a $f(x) >A$ (même signification que ce qui est juste au-dessus de l'encadré)
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