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On donne le tableau de variation avec les limites aux bornes de l'ensemble de définition.
dans chaque cas, donner une représentation graphique possible de $f$ en traçant les asymptotes éventuelles.
  1. Cas 1:

    limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique


    La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

    La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
    On doit tracer les droites d'équations $x=-4$ et $y=1$ (asymptotes)
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=+\infty$
    donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}f(x)=+\infty$
    donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe.
  2. Cas 2:
    On doit tracer les droites d'équations $x=-4$, $x=1$, $x=3$ et $y=-1$ (asymptotes)
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=+\infty$
    donc la droite d'équation $x=-4$ est asymptote à la courbe.
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=+\infty$
    donc la droite d'équation $x=1$ est asymptote à la courbe.
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^-}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^+}f(x)=-\infty$
    donc la droite d'équation $x=3$ est asymptote à la courbe.
    On a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-1$
    donc la droite d'équation $y=-1$ est asymptote à la courbe en $+\infty$.

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