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- $f(x)=\dfrac{x^2-2}{x-2}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 2 \rbrace$.
Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers 2 et interpréter graphiquement le résultat.Opérations sur les limites
Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
Distinguer les cas $x > 2$ et $x < 2$Limite du numérateur
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}x^2-2=2^2-2=2$
Limite en $2^-$ (cas $x < 2 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}x-2=0^-$ ($x-2 < 0$ si $x<2$)
Limite en $2^+$ (cas $x > 2 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}x-2=0^+$ ($x-2 > 0$ si $x>2$)
La droite d'équation $x=2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$. - $f(x)=\dfrac{x-6}{4+2x}$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace -2 \rbrace$.
Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $-2$ et interpréter graphiquement le résultat.Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
Distinguer les cas $x > -2$ et $x < -2$Limite du numérateur
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2}x-6=-2-6=-8$
Limite en $-2^-$ (cas $x < -2 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^-}4+2x=0^-$ ($4+2x < 0$ si $x<-2$)
Limite en $-2^+$ (cas $x > -2 $)
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}4+2x=0^+$ ($4+2x > 0$ si $x>-2$)
La droite d'équation $x=-2$ est asymptote à la courbe représentative de $f$.
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