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Le plan muni d'un repère orthonormé.
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- La droite $(d)$ a pour équation $4x-3y+6=0$.
Tracer $(d)$.Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}(-b;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}(1;a)$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur directeur de la droite $(d)$
Déterminer les coordonnées d'un point de la droiteLa droite $(d)$ a pour équation $4x-3y+6=0$ on a $a=4$ et $b=-3$
donc $\overrightarrow{u}(3;4)$ est un vecteur directeur de $(d)$
Si $x=0$ alors $4\times 0-3y+6=0 \Longleftrightarrow -3y=-6 \Longleftrightarrow y=2$
- Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ et passant par $A(4;2)$.
Droites parallèles
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction)Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$Méthode 1: vecteurs colinéaires
Soit $M(x;y)$ un point de $(d')$.
$\overrightarrow{AM}(x-4;y-2)$
$(d)//(d')$ donc un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$
donc $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}(3;4)$ sont colinéaires.
$det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{u})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{vmatrix} x-4&3\\ y-2&4 \end{vmatrix}=0$
$\Longleftrightarrow 4(x-4)-3(y-2)=0$
$\Longleftrightarrow 4x-16-3y+6=0$
$\Longleftrightarrow 4x-3y-10=0$
Méthode 2
$(d)//(d')$ donc un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(3;4)$ de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$
donc $a'=4$ et $b'=-3$
On a donc $(d')$: $4x-3y+c'=0$
$A\in (d')\Longleftrightarrow 4\times 4-3\times 2+c'=0$
$~~~~~~\Longleftrightarrow 16-6+c'=0$
$~~~~~~\Longleftrightarrow c'=-10$
- Déterminer une équation de la droite $(d'')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $B(7;3)$.
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}(a;b)$$\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d'')$Méthode 1: vecteurs orthogonaux
Soit $M(x;y)$ un point de $(d'')$.
$\overrightarrow{BM}(x-7;y-3)$
$(d)\perp (d'')$ donc $\overrightarrow{BM}$ et $\overrightarrow{u}(3;4)$ sont orthogonaux
$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{u}=0$
$\Longleftrightarrow 3(x-7)+4(y-3)=0$
$\Longleftrightarrow 3x-21+4y-12=0$
$\Longleftrightarrow 3x+4y-33=0$
Méthode 2
$(d)\perp(d'')$ donc un vecteur directeur $\overrightarrow{u}(3;4)$ de $(d)$ est un vecteur directeur de $(d)$ donc normal à $(d'')$
donc $a''=3$ et $b''=4$
On a donc $(d'')$: $3x+4y+c''=0$
$B\in (d'')\Longleftrightarrow 3\times 7+4\times 3+c''=0$
$~~~~~~\Longleftrightarrow 21+12+c''=0$
$~~~~~~\Longleftrightarrow c''=-33$
- Déterminer les coordonnées du point d'intersection $C$ de $(d)$ et de $(d'')$.
il faut résoudre les système formé avec les deux équations de droites$\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} 12x-9y+18-(12x+16y-132)=0~~~~3L_1~-4L_2\\ 16x-12y+24+9x+12y-99=0~~~~~~4L_1+3L_2 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} -25y+150=0\\ 25x-75=0 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=\dfrac{-150}{-25}\\ x=\dfrac{75}{25} \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} 4x-3y+6=0\\ 3x+4y-33=0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} y=6\\ x=3 \end{cases}$
- Déterminer une équation du cercle de centre $A$ passant par $C$.
Le point $B$ appartient-il à ce cercle?Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$Il faut calculer la longueur du rayon $[AC]$$A(4;2)$ et $C(3;6)$.
$AC^2=(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2$
$~~~~~=(3-4)^2+(6-2)^2$
$~~~~~=(-1)^2+4^2$
$~~~~~=1+16$
$~~~~~~=17$
$M(x;y)$ est un point du cercle donc $AM^2=AC^2$
donc $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=AC^2$
$(x_B-4)^2+(y_B-4)^2=(7-4)^2+(3-4)^2=9+1=10\neq 17$
Contrôle avec GEOGEBRA
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