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La fonction $f$ est définie sur $D_f=[0;+\infty[$ par $f(x)=(x-4)\sqrt{x}+2x$.
  1. Montrer que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

    Dérivées usuelles


    Décomposer $f$ en utilisant les fonctions $u(x)=x-4$, $v(x)=\sqrt{x}$ et $w(x)=2x$
    Rappel: le produit de deux fonctions dérivables sur un intervalle D de $\mathbb{R}$ est dérivable sur D
    et la somme de deux fonctions dérivables sur un intervalle D de $\mathbb{R}$ est dérivable sur D
    On pose $u(x)=x-4$, $v(x)=\sqrt{x}$ et $w(x)=2x$ définies sur $[0;+\infty[$

    $u$ (fonction affine) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$ et $u'(x)=1$
    $v$ (fonction racine carrée) est dérivable sur sur $]0;+\infty[$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
    donc le produit de $u$ par $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    $w$ (fonction linéaire) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$ et $w'(x)=2$ donc $f$, somme de $uv$ et de $w$ est dérivable sur $]0;+\infty[$

    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+w'(x)$
    $=\sqrt{x}+(x-4)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}+2$
    $=\sqrt{x}+ \dfrac{x-4}{2\sqrt{x}}+2$
    $=\dfrac{2x}{2\sqrt{x}}+ \dfrac{x-4}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
    $=\dfrac{2x+x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
    $=\dfrac{3x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
  2. En posant $X=\sqrt{x}$ , donner la forme factorisée de $3x+4\sqrt{x}-4$ et en déduire le tableau de variation de $f$
    En posant $X=\sqrt{x}$, on a $X^2=x$ et il faut alors résoudre l'équation $3X^2+4X-4$
    On obtient alors deux racines et on peut factoriser $3X^2+4X-4$
    on obtient alors une factorisation de $3x+4\sqrt{x}-4$ puisque $X=\sqrt{x}$
    On pose $X=\sqrt{x}$ et on a alors
    $3x+4\sqrt{x}-4=3\sqrt{x}^2+4\sqrt{x}-4=3X^2+4X-4$
    Recherche des racines de $X^2+4X-4$
    $\Delta=16-4\times 3\times (-4)=64$

    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-8}{6}=-2$
    et
    $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+8}{6}=\dfrac{2}{3}$

    donc $3X^2+4X-4=3(X-(-2))(X-\dfrac{2}{3})=3(X+2)(X-\dfrac{2}{3})$
    soit $3x+4\sqrt{x}-4=3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})$
    Vérification en développant:
    $3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})=3(x-\dfrac{2\sqrt{x}}{3}+2\sqrt{x}-\dfrac{4}{3})=3x+4\sqrt{x}-4$
    $f'(x)=\dfrac{3x-4+4\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
    Le dénominateur $2\sqrt{x}$ est strictement positif
    donc $f'(x)$ est du signe du numérateur $3x+4\sqrt{x}-4$
    On a $3x+4\sqrt{x}-4=3(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-\dfrac{2}{3})$
    $3(\sqrt{x}+2)>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $\sqrt{x}-\dfrac{2}{3}$
    Sur $]0;+\infty[$:
    $\sqrt{x}-\dfrac{2}{3}>0 $
    $\Longleftrightarrow \sqrt{x}>\dfrac{2}{3}$
    $\Longleftrightarrow x>\dfrac{4}{9}$
    On a donc le tableau de variation de $f$ suivant:

    avec $f(0)=0$
    et $f(\frac{4}{9})=(\dfrac{4}{9}-4)\sqrt{\dfrac{4}{9}}+2\times \dfrac{4}{9}=\dfrac{-32}{9}\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{-64}{27}+\dfrac{24}{27}=\dfrac{-40}{27}$

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