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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique $C_f$ ainsi que la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-3$
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- Déterminer $f'(-3)$ .
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $-3$Graphiquement, $f'(-3)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $-3$
donc $f~'(-3)=\dfrac{\text{variations des ordonnées}}{\text{variations des abscisses}}=\dfrac{-2}{2}=-1$
- On donne $f'(-2)=-0,25$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$ puis la tracer.Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $f'(-2)$ et cette tangente passe par le point de coordonnées $(-2;f(-2))$Méthode 1: sans la formule du cours
La tangente $T$ à la courbe à la courbe $C_f$ au point d'abscisse $-2$ a pour coefficient directeur $f'(-2)$ et cette tangente passe par le point $B$ de coordonnées $(-2;f(-2))$. $f'(-2)=-0,25$
donc $T$ admet une équation réduite de la forme $y=-0,25x+p$
Le point $B$ de la courbe $C_f$ d'abscisse $-2$ a pour ordonnée $0,5$ donc $f(-2)=0,5$
$B\in T \Longleftrightarrow y_B=-0,25x_B+p$
$\phantom{B\in T} \Longleftrightarrow 0,5=-0,25\times (-2)+p$
$\phantom{B\in T} \Longleftrightarrow 0,5=0,5+p$
$\phantom{B\in T} \Longleftrightarrow p=0$
Méthode 2: Avec la" formule directe du cours":
$y=f~'(-2)(x-(-2))+f(-2)=-0,25(x+2)+0,5=-0,25x$
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