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La fonction $g$ est définie par $g(x)=e^{ln(x)}$.
La dérivée de la fonction $ln$ est supposée ne pas être connue.
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La dérivée de la fonction $ln$ est supposée ne pas être connue.
- Donner l'ensemble de définition $D$ de $g$.
- On admet que $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Calculer $g'(x)$ en fonction de $u$ et $u'$.Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$On dérive la composée $vou$ avec $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=e^x$La fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ est la composée de $u$ et $v$ avec avec $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=e^x$.
On a $f=vou$ donc $f'(x)=(vou(x))'=v'ou(x)\times u'(x)$
avec $v'(x)=e^x$.
$g'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$
$~~~~=e^{ln(x)}\times u'(x)$ (rappel: $e^{ln(x)}=x$)
$~~~~=x\times u'(x)$
- Montrer que $g'(x)=1$ et en déduire $u'(x)$
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