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Résoudre les inéquations suivantes en précisant l'ensemble de résolution.
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- $ln(2x)>ln(6)$
Equations et inéquations avec ln
La fonction $ln$ est continue et strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs on a:
$ln(a)=ln(b)\Longleftrightarrow a =b$
$ln(a) < ln(b) \Longleftrightarrow a < b$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $2x > 0$$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $2x > 0$ soit $x >0$
On résout sur $]0;+\infty[$.
$ln(2x)>ln(6) \Longleftrightarrow 2x > 6 \Longleftrightarrow x >3$
- $ln(8-2x)> 3$
$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $8-2x > 0$
On a ln(e^3)=3$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $8-2x > 0$.
$8-2x >0 \Longleftrightarrow -2x > -8 \Longleftrightarrow x<4$ l'inégalité change de sens en divisant chaque membre par $-2$
On résout donc cette inéquation sur $]-\infty;4[$
$ln(8-2x)> 3 \Longleftrightarrow ln(8-2x)> ln(e^3)$ (on a $ln(e^3)=3$)
$\phantom{ln(8-2x) > 3} \Longleftrightarrow -2x>e^3 -8 $
$\phantom{ln(8-2x) > 3} \Longleftrightarrow x<\dfrac{-e^3}{2}+4 $
$\dfrac{-e^3}{2}+4 \approx -6,04$
- $ln(x-1)+ln(2)\geq 4$
$ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-1 > 0$
$4=ln\left(e^4 \right)$
Il faut se ramener à une égalité de la forme $ln(a)=ln(b)$ avec $a > 0$ et $b >0$La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $x-1 > 0$.
$x-1 >0 \Longleftrightarrow x > 1 $
On résout donc cette inéquation sur $]1;+\infty[$
$ln(x-1)+ln(2)\geq 4\Longleftrightarrow ln(2(x-1))\geq ln\left( e^4\right)$
$\phantom{ln(x-1)+ln(2)\geq 4} \Longleftrightarrow 2(x-1)\geq e^4$
$\phantom{ln(x-1)+ln(2)\geq 4} \Longleftrightarrow 2x-2\geq e^4$
$\phantom{ln(x-1)+ln(2)=4} \Longleftrightarrow 2x\geq 2+ e^4$
$\phantom{ln(x-1)+ln(2)=4} \Longleftrightarrow x\geq 2+ \dfrac{e^4}{2}$
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