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Résoudre les équations suivantes:
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- $e^{2x}+e^x-6=0$ (on pourra poser $X=e^x$).
On peut poser $X=e^x$ et on a alors $X^2=\left(e^x\right)^2=e^{2x}$On pose $X=e^x$ (on a alors $X>0$) et on a alors $X^2=e^{2x}$.
Il faut donc résoudre l'équation $X^2+X-6=0$.
Recherche des racines de $X^2+X-6$
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 1 \times (-6)=25$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1 + 5 }{2 }=2$
et $X_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1 - 5 }{2 }=-3$
On a donc $e^x=X_1=2\Longleftrightarrow x=ln(2)$
ou bien $e^x=X_2=-3$ or $e^x >0$ pour tout réel $x$ donc cette équation n'admet aucune solution.
- $e^x-8e^{-x}+2=0$ (on pourra poser $X=e^{x}$)
Si on pose $X=e^{x}$ on peut factoriser par $e^{-x}$ en utilisant $e^xe^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$$e^x-8e^{-x}+2=0\Longleftrightarrow e^{-x}\left(e^{2x}-8+2e^x\right)=0$
$\phantom{e^x-8e^{-x}+2=0} \Longleftrightarrow e^{2x}-8+2e^x=0$ car $e^{-x}>0$ donc non nul pour tout réel $x$
En posant $X=e^x$ on a $X^2=\left(e^x\right)^2=e^{2x}$
donc il faut résoudre l'équation $X^2-8+2X=0$ soit $X^2+2X-8=0$
Recherche des racines de $X^2+2X-8$
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times (-8)=4+32=36$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 + 6 }{2 }=2$
et $X_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -2- 6 }{2 }=-4$
On a donc $e^x=X_1=2 \Longleftrightarrow x=ln(2)$
ou bien $e^x=X_2=-4$ et $e^x >0$ pour tout réel $x$ donc cette équation n'admet aucune solution.
- $-2ln^2(x)+7ln(x)-6=0$
On peut poser $X=ln(x)$ avec $x >0$$ln(x)$ est défini pour tout $x > 0$
donc on résout cette équation sur $]0;+\infty[$.
On pose $X=ln(x)$ et il faut alors résoudre l'équation $-2X^2+7X-6=0$
$\Delta=b^2-4ac=7^2-4\times (-2)\times (-6)=49-48=1$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$X_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -7+ 1 }{-4 }=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{2}{3}$
et $X_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -7- 1 }{-4 }=\dfrac{-8}{-4}=+2$
On a donc $ln(x)=X_1=\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow x=e^{\frac{2}{3}}$
ou bien $ln(x)=X_2=+2\Longleftrightarrow x=e^{2}$
Ces deux solutions sont positives donc appartiennent à $]0;+ \infty[$
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