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La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous représente dans un repère orthonormal une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0 ;+\infty[$ à valeurs strictement positives sur l'intervalle $[0;+\infty[$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
On sait que :
- La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 2] et strictement décroissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$.
- La courbe ($\mathcal{C}$) passe par les points O, A et B.
- Le point A a pour coordonnées (1;1) ; la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A.
- Le point B a pour coordonnées $\left(2~;~\dfrac{4}{\text{e}}\right)$. Au point B, la courbe ($\mathcal{C}$) admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
- L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$).

PARTIE A
  1. Donner $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)$, puis $f'(1)$ et $f'(2)$ (justifier les résultats).

    limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique


    La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

    La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$
    $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$
    L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ($\mathcal{C}$)

    $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$ de la courbe d'abscisse 1
    et la droite (OA) est tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au point A
    donc $f'(1)=\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{1-0}{1-0}=1$

    La tangente au point $B$ d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses et a donc pour coefficient directeur 0
  2. Montrer que, dans l'intervalle $[0;+\infty[$, l'équation $f(x) = 1$ admet exactement deux solutions dont l'une est le nombre $1$ ; l'autre solution est notée $\alpha$.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    Il faut utiliser les variations de $f$ et utiliser les intervalles sur lesquels $f$ est monotone (soit croissante, soit décroissante).
    $f$ est continue sur $[0;2]$ et 1 est compris entre $f(0)$ et $f(2)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)$prend au moins une fois la valeur $1$ sur $[0;2]$.
    De plus $f$ est strictement croissante sur $[0;2]$
    donc $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[0;2]$
    On a de plus $f(1)=1$ donc $f(x)=1$ admet pour unique solution $x=1$ sur $[0;2]$.
    $f$ est continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ et 1 est compris entre $f(2)$ et $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $1$ sur $[2;+\infty[$
    De plus $f$ est strictement décroissante sur $[2;+\infty[$
    donc l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique $\alpha$ sur $[2;+\infty[$.
  3. On considère la fonction $g$ définie par $g(x) = ln[f(x)]$.
    1. Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
      $g$ est définie pour tout réel $x$ tel que $f(x) >0$
      $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $f(x) >0$
      On a $f(x) >0$ sur $]0;+\infty[$ car $f(0)=0$
      et $f$ strictement décroissante sur $[2;+\infty[$ avec $\displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x)=0$
    2. Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

      Équations et inéquations avec exponentielle


      Pour se ramener à une égalité de la forme $e^A=e^B$ on utilise $e^{ln(a)}=a$ ($a > 0$).
      Par exemple:
      $e^{x+1}=3 \Longleftrightarrow e^{x+1}=e^{ln(3)}$
      $~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x+1=ln(3)$
      $~~~~~~~~ \Longleftrightarrow x=ln(3)-1$
      $g'(x)$ est du signe de $f'(x)$...
      $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ donc $g=ln(f)$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
      $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$
      $f(x) >0$ sur $]0;+\infty[$ donc $g'(x)$ est du signe de $f'(x)$.
      La fonction $f$ est strictement croissante (donc $f'(x)>0$) sur l'intervalle [0 ; 2[ et strictement décroissante (donc $f'(x)<0$ sur l'intervalle $]2;+\infty[$
    3. Déterminer $g'(1)$ et $g(2)$.
      On a $g'(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ donc il faut utiliser $f'(1)$ et $f(1)$
      $g'(1)=\dfrac{f'(1)}{f(1)}=\dfrac{1}{1}=1$

      Le point B a pour coordonnées $\left(2;\dfrac{4}{e}\right)$ donc $f(2)=\dfrac{4}{e}$.
      $g(2)=ln\left(f(2) \right)=ln\left(\dfrac{4}{e}\right)=ln(4)-ln(e)=ln(4)-1$

PARTIE B
Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \times \text{e}^{-x+1}$.
On rappelle que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par $g(x) = ln [f(x)]$.
  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$ on a $g(x) = -x + 1 + 2 ln x$.

    Propriétés algébriques du logarithme


    Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
    $ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
    $ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
    $ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
    pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$
    $ln\left(e^x\right)=x$ et $ln\left(x^2 \times \text{e}^{-x+1}\right)=ln\left(x^2\right)+ln\left(e^{-x+1}\right)$
    $g(x)=ln\left(x^2 \times \text{e}^{-x+1}\right)$
    $\phantom{g(x)}=ln\left(x^2\right)+ln\left(e^{-x+1}\right)$
    $\phantom{g(x)}=2ln\left(x \right)-x+1$ car $ln\left(e^x\right)=x$ pour tout réel $x$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0;+\infty[$, on note $g'$ sa fonction dérivée.
    Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0;+\infty[$.
    Retrouver, par le calcul, le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0;+\infty[$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    Il faut calculer $g'(x)$ et étudier son signe.
    $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de fonctions dérivables)
    et $g'(x)=-1+2\times \dfrac{1}{x}=-1+\dfrac{2}{x}=\dfrac{-x+2}{x}$
    $x >0$ donc $g'(x)$ est du signe de $-x+2$.
    $-x+2 >0 \Longleftrightarrow -x>-2 \Longleftrightarrow x <2$
    donc $g'(x) >0$ sur $]0;2[$ et $g'(x)<0$ sur $]2;+\infty[$

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