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Dans chaque cas, justifier que la fonction $F$ proposée est une primitive de $f$ sur $I$.
  1. $f(x)=6x^2+\dfrac{2}{x}$ sur $I=]0;+\infty[$ et $F(x)=2x^3+2ln(x)$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$

    Primitive d'une fonction


    $F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
    Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
    Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$
    Il faut calculer $F'(x)$
    $ln$ est dérivable sur $I$ donc $F$ est dérivable sur $I$.
    $F'(x)=2\times 3x^2+2\times \dfrac{1}{x}=6x^2+\dfrac{2}{x}$
  2. $f(x)=12e^{4x}+3$ sur $I=\mathbb{R}$ et $F(x)=3e^{4x}+3x$.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Primitive d'une fonction


    $F$ définie et dérivable sur $I$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si $F'(x)=f(x)$.
    Toute fonction $f$ continue sur $I$ admet des primitives.
    Par exemple $F(x)=x^2$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$
    Il faut calculer $F'(x)$
    La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$
    donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $F'(x)=3\times 4\times e^{4x}+3\times 1=12e^{4x}+3=f(x)$
  3. $f(x)=e^{-x}(1-x)$ sur $I=\mathbb{R}$ et $F(x)=xe^{-x}$.

    Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$


    La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$

    La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=e^{-x}$ dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$

    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$
    $\phantom{F(x)}=1e^{-x}+x\times (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)=f(x)$

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