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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
- $f(x)=\dfrac{1}{2x-4}$ avec $D=]2;+\infty[$
Composition avec la fonction $ln$, dérivée de $ln(u)$
$u$ est dérivable sur $I$ et $u(x)>0$ pour tout réel $x$ de $I$.
La fonction $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $\left(ln(u(x))\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}$ et on pose $u(x)=2x-4$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}$
En posant $u(x)=2x-4$ on a $u'(x)=2$ avec $u(x)>0$ sur $]2;+\infty[$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{1}{2}ln(u(x))=\dfrac{ln(2x-4)}{2}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{2x-4}=\dfrac{1}{2x-4}=f(x)$
On peut aussi remarque que pour obtenir $\dfrac{1}{2x-4}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $ln(2x-4)$.
On a alors $(ln(2x-4))'=\dfrac{(2x-4)'}{2x-4}=\dfrac{2}{2x-4}$
donc $(ln(2x-4))'=\dfrac{2}{2x-4}$ soit $\left(\dfrac{ln(2x-4)}{2}\right)'=\dfrac{1}{2x-4}$- $f(x)=\dfrac{1}{3-x}$ avec $D=]-\infty;3[$
$f(x)=-\times \dfrac{-1}{3-x}$ et on pose $u(x)=3-x$$f(x)=-\dfrac{-1}{3-x}$
En posant $u(x)=3-x$ on a $u'(x)=-x$ avec $u(x)>0$ sur $]-\infty;3[$
On a alors $f(x)=- \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
donc $F(x)=-ln(u(x))=-ln(3-x)$
On a alors $F'(x)=- \dfrac{(3-x)'}{3-x}=\dfrac{1}{3-x}=f(x)$
On peut aussi remarque que pour obtenir $\dfrac{1}{3-x}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $ln(3-x)$.
On a alors $(ln(3-x))'=\dfrac{(3-x)'}{3-x}=\dfrac{-1}{3-x}$
donc $(ln(3-x))'=\dfrac{-1}{3-x}$ soit $\left(-ln(3-x)\right)'=\dfrac{1}{3-x}$- $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ avec $D=\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{x^2+1}$ et on pose $u(x)=x^2+1$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2x}{x^2+1}$
En posant $u(x)=x^2+1$ on a $u'(x)=2x$ avec $u(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{1}{2}ln(u(x))=\dfrac{ln(x^2+1)}{2}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\dfrac{1}{x^2+1}=f(x)$
On peut aussi remarque que pour obtenir $\dfrac{1}{x^2+1}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $ln(x^2+1)$.
On a alors $(ln(x^2+1))'=\dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1}=\dfrac{2x}{x^2+1}$
donc $(ln(x^2+1))'=\dfrac{2x}{x^2+1}$ soit $\left(\dfrac{ln(x^2+1)}{2}\right)'=\dfrac{x}{x^2+1}$- $f(x)=\dfrac{e^x}{2e^x+1}$ avec $D=\mathbb{R}$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Si on pose $u(x)=2e^x+1$ on a alors $u'(x)=2e^x$ et $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2e^x}{2e^x+1}$
En posant $u(x)=2e^x+1$ on a $u'(x)=2e^x$ avec $u(x)>0$ sur $\mathbb{R}$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{u'(x)}{u(x)}$
On a donc $F(x)=\dfrac{1}{2}ln(u(x))=\dfrac{ln\left(2e^x+1\right)}{2}$
En effet $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{(2e^x+1)'}{2e^x+1}=\dfrac{1}{2e^x+1}=f(x)$
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Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices. - $f(x)=\dfrac{1}{3-x}$ avec $D=]-\infty;3[$