$f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2e^{2x-3}$
En posant $u(x)=2x-3$ on a $u'(x)=2$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times u'(x)e^{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{u(x)}=\dfrac{e^{2x-3}}{2}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times (2x-3)'e^{2x-3}=e^{2x-3}=f(x)$
$F(x)=\dfrac{e^{2x-3}}{2}$
Remarque
On peut aussi remarque que pour obtenir $e^{2x-3}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $e^{2x-3}$.
On a alors $\left(e^{2x-3}\right)'=(2x-3)'e^{2x-3}=2e^{2x-3}$
donc $\left(e^{2x-3}\right)'=2e^{2x-3}$ soit $\left(\dfrac{e^{2x-3}}{2}\right)'=e^{2x-3}$

$f(x)=-\left(-e^{-x}\right)$
En posant $u(x)=e^{-x}$ on a $u'(x)=-1$
On a alors $f(x)=- u'(x)e^{u(x)}$
donc $F(x)=-e^{u(x)}=-e^{-x}$
On a alors $F'(x)=- (-x)'e^{-x}=e^{-x}=f(x)$
$F(x)=-e^{-x}$
à mémoriser une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$

$f(x)=\dfrac{-1}{3}\times (-3)e^{1-3x}$
En posant $u(x)=1-3x$ on a $u'(x)=-3$
On a alors $f(x)=\dfrac{-1}{3}\times u'(x)e^{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{-1}{3}e^{u(x)}=\dfrac{-e^{1-3x}}{3}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{-1}{3}\times (1-3x)'e^{1-3x}=\dfrac{-1}{3}\times (-3)e^{-3x}=e^{-3x}=f(x)$
$F(x)=\dfrac{-e^{1-3x}}{3}$
Remarque
On peut aussi remarque que pour obtenir $e^{1-3x}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $e^{1-3x}$.
On a alors $\left(e^{1-3x}\right)'=(1-3x)e^{1-3x}=-3e^{1-3x}$
donc $\left(e^{1-3x}\right)'=-3e^{1-3x}$ soit $\left(\dfrac{e^{1-3x}}{-3}\right)'=e^{1-3x}$

$f(x)=\dfrac{1}{2}\times (2x)e^{x^2}$
En posant $u(x)=x^2$ on a $u'(x)=2x$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times u'(x)e^{u(x)}$
On a donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{u(x)}=\dfrac{e^{x^2}}{2}$
En effet $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times (x^2)'e^{x^2}=xe^{x^2}=f(x)$
$F(x)=\dfrac{e^{x^2}}{2}$