MATHS-LYCEE.FR exercice corrigé chapitre Primitives et intégrales

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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[-1;9]$ dont la représentation graphique $(C_f)$ est donnée ci-dessous.

Déterminer le signe de $f(x)$ par lecture graphique.

Aide

Il faut déterminer la position de $C_f$ par rapport à l'axe des abscisses.

Solution

La courbe $C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses
Déterminer un encadrement de $\int_2^8 f(x)dx$

Rappel de cours

Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

Aide

$\int_2^8 f(t)dt$ est l'aire, en unités d'aires du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=8$

Solution

$f$ est continue sur $[-1;9]$ et $f(x)>0$ sur $[-1;9]$
donc $\int_2^8 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires du domaine (en bleu) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=2$ et $x=8$.

Une unité d'aire est l'aire d'un carreau du quadrillage.
Si on note $A=\int_2^8 f(x)dx$ alors $A$ contient 14 carreaux(zone hachurée en rouge) du quadrillage et est contenue dans 24 carreaux du quadrillage.
On a tracé un quadrillage plus précis dans le repère précédent.

Donner alors un nouvel encadrement d'amplitude inférieure au précédent de $\int_2^8 f(x)dx$

Aide

L'amplitude d'un encadrement est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure de celui-ci.

Solution

On a maintenant 4 carreaux du quadrillage dans un rectangle de une unité selon l'axe des abscisses sur une unité selon l'axe des ordonnées (rectangle orange).

$A$ contient 67 carreaux(zone hachurée en rouge) du quadrillage et est contenue dans 88 carreaux du quadrillage
soit entre $\dfrac{67}{4}=16,75$ unités d'aires et $\dfrac{88}{4}=22$ unités d'aires puisque une unité d'aire correspond à 4 carreaux du quadrillage.

On a un encadrement maintenant d'amplitude $22-16,75=5,25$