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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=e^{3x}+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère dont les unités sont 3 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
  1. Justifier que $f(x) >0$ pour tout réel $x$.
    Rappel: $e^x >0$ pour tout réel $x$.
    $e^{3x}>0$ sur $\mathbb{R}$ donc $e^{3x}+1>1>0$
  2. Calculer, en unités d'aire puis en cm$^2$, l'aire du domaine limité par $C_f$, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=1$.

    Aire et intégrale


    $f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
    $\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.

    Cas de la fonction $e^{u}$


    La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
    Il faut chercher une primitive de $f$ et notamment de $e^{3x}$
    On a $\left(e^{3x}\right)'=3e^{3x}$
    $f$ est continue sur $\mathbb{R}$(somme de fonctions continues sur $\mathbb{R}$) donc $f$ admet des primitives sur $\mathbb{R}$.
    On a alors $f$ continue sur $[0;1]$ et $f(x)>0$ donc l'aire $\mathcal{A}$, en unités d'aires, du domaine limité par $C_f$, l'axe des ordonnées, l'axe des abscisses(équation $x=0$) et la droite d'équation $x=1$ est $\int_0^1 f(t)dt$.
    $F(x)=\dfrac{e^{3x}}{3}+x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
    En effet $F'(x)=\dfrac{3e^{3x}}{3}+1=e^{3x}+1=f(x)$
    $F(0)=\dfrac{e^{0}}{3}+0=\dfrac{1}{3}$ (rappel $e^0=1$)
    $F(1)=\dfrac{e^{3}}{3}+1$
    $\mathcal{A}=\int_0^1 f(t)dt$
    $\phantom{\mathcal{A}}=[F(t)]_0^1$
    $\phantom{\mathcal{A}}=F(1)-F(0)$
    $\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{e^{3}}{3}+1-\dfrac{1}{3}$
    $\phantom{\mathcal{A}}=\dfrac{e^{3}}{3}+\dfrac{2}{3}$

    Une unité d'aire est l'aire d'un rectangle de une unité selon l'axe des abscisses et une unité selon l'axe des ordonnées soit $3\times 1=3$ cm$^2$.
    donc $\mathcal{A}=3\times \left(\dfrac{e^{3}}{3}+\dfrac{2}{3}\right)=e^{3}+2$


    Penser à contrôler le calcul de l'intégrale avec la calculatrice: OPTION puis CALC puis $\int (e^{3x}+1$,0,1) (voir fiche méthode calculer une intégrale avec la calculatrice)

    Courbe et aire (en rouge) données ci-dessous à titre indicatif.

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