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La loi de probabilité d'une variable aléatoire $X$ est donnée dans le tableau ci-dessous:
  1. Déterminer la probabilité manquante dans ce tableau.

    Variable aléatoire et loi de probabilité


    Une variable aléatoire discrète est une fonction définie de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ qui a tout élément $x_i$ de $\Omega$ associe un nombre réel.
    Définir la loi de probabilité d'une variable aléatoire prenant les valeurs $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $, c'est déterminer la probabilité d'obtenir la valeur $X=x_i$ pour tout élément de $\left\lbrace x_1;x_2;x_3;......x_n\right\rbrace $
    La somme des probabilités est égale à 1 (probabilité de l'événement certain)
    $p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4)=1$
    donc $p(X=4)=1-0,1-0,2-0,5=0,2$
  2. Calculer l'espérance de $X$ notée $E(X)$.

    Espérance-variance-écart type


    L'espérance de la variable aléatoire $X$ (avec les notations précédentes) est:
    $E(X)=x_1p_1+x_2p_2+......+x_np_n=\sum_{i=1}^n p_ix_i$
    La variance d'une variable aléatoire $X$ est:
    $V(X)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+.....+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_i(x_i-E(X))^2$

    ou bien $V(X)=p_1x_1^2+p_2x_2^2+.....+p_nx_n^2-(E(X))^2=\sum_{i=1}^n p_ix_i^2-(E(X))^2$

    L'écart type est égal à la racine carrée de la variance: $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
    La loi de probabilité de $X$ est donc:

    $E(X)=1\times 0,1+2\times 0,2+3\times 0,5+4\times 0,2=0,1+0,4+1,5+0,8=2,8$

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