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Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4).
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- On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, sans remettre le jeton tiré.
Combien y-a-t'il de tirages possiblesProduit factorielle
Soit $n$ un entier naturel non nul,
$n!=n(n-1)(n-2)....\times 3\times 2\times 1$
Par exemple $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$p-liste sans répétition
Soit $p\leq n$ Le nombre de $p$-listes de $p$ éléments de $E$ distincts est $A_p^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times \dots \times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.
Si $p=n$, il s'agit du nombre de permutations de $n$ éléments soit $A_n^n=n!$
Remarques
Dans un arrangement (liste de $p$ éléments de $E$ distincts, on tient compte de l'ordre.On cherche le nombre combinaisons de 3 jetons sans répétition.Il n'y a pas remise donc on cherche le nombre de 3-listes sans répétitions
soit $A_9^3=\dfrac{9!}{(9-3)!}=9\times 8\times 7=504$
- Calculer la probabilité d'obtenir 3 jetons verts.
- Quelle est la probabilité de tirer exactement 1 jeton vert.
Il faut chercher le nombre de tirages avec 2 jetons rouges.Il y a 5 choix possibles pour le jeton vert
et $A_4^2=\dfrac{4!}{(4-2)!}=4\times 3=12$ tirages possibles pour les 2 jetons rouges.
De plus il y a trois combinaisons possibles pour l'ordre des jetons soit $(V;R;R)$, $(R;V;R)$ et $(R;R;V)$
Il y a donc $3\times 5\times 12=180$ tirages possibles avec 1 jeton vert
- On tire successivement et au hasard 3 jetons du sac, avec remise du jeton tiré à chaque tirage.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 jetons verts?p-liste
Une $p$-liste de $E$ est une liste ordonnée de $p$ éléments de $E$ non nécessairement distincts.
Le nombre de $p$-liste de $E$ est $n^p$.
Par exemple, si $E={1;2;3;4}$.
$(1;2;3;4;4)$, $(1;2;2;3;1)$ et $(2;2;3;2;4)$ sont trois $5$-listes distinctes de $E$.On a 9 choix possibles à chaque tirage.Il y a remise donc $9^3=729$ tirages possibles.
On choisit ensuite 3 jetons verts parmi 5 soit $5^3=125$ tirages avec 3 jetons verts
- On tire simultanément et au hasard 3 jetons du sac.
Quelle est la probabilité d'obtenir 3 jetons verts?Combinaisons
$E$ est un ensemble de $n$ éléments et $0\leq p \leq n$.
Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble (ou partie) de $p$ éléments de $E$.
Pour une combinaison, on ne tient pas compte de l'ordre des éléments de la $p$-liste et il n'y a pas de répétitions d'éléments identiques.
Le nombre de combinaisons de $p$ ($p\leq n$) éléments de $E$ est l'entier naturel noté $\begin{pmatrix} n\\p \end{pmatrix}=n\times(n-1) \times \cdots \times(n-p+1) = \dfrac{n!}{p!(n-p)!}$On cherche les combinaisons de 3 jetons parmi 9
soit $\begin{pmatrix} 3\\9 \end{pmatrix}=\dfrac{9!}{3!(9-3)!}=\dfrac{9!}{3!6!}=\dfrac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ tirages possibles.
et $\begin{pmatrix} 3\\5 \end{pmatrix}=\dfrac{5!}{3!(5-3)!}=\dfrac{5!}{3!2!}=\dfrac{5\times 4\times 3}{3\times 2\times 1}=10$ tirages avec 3 jetons verts
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