On considère l'expérience aléatoire consistant à lancer une flèche avec les deux issues (épreuve de Bernouilli) possibles $S$:" la flèche atteint la cible" et $E=\overline{S}$: " la flèche n'atteint pas la cible".
On a alors $p(S)=0,8$ et $p(E)=1-p(S)=0,2$.
Chaque épreuve (chaque tir) est indépendante des autres (les tirs sont indépendants) et on répète 4 fois cette épreuve de Bernouilli.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de flèches ayant atteint la cible (nombre de succès $S$) et
donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,8$ notée $\mathcal{B}(4;0,8)$.}
On veut atteindre au moins 3 fois la cible donc on veut $X\geq 3$
$p(X\geq 3)=p(X=3)+p(X=4)$
$\phantom{p(X\geq 3)}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}p(S)^3p(E)+\begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}p(S)^4p(E)^0$
$\phantom{p(X\geq 3)}=3\times 0,8^3\times 0,2+0,8^4$
$\phantom{p(X\geq 3)}=0,8192$
La probabilité d'atteindre au moins trois fois la cible sur les 4 tirs est $p(X\geq 3)=0,8192$
Remarque
Avec la calculatrice, on peut calculer directement $p(X\geq 3)$ en écrivant:
$p(X\geq 3)=1-p(X < 3)=1-p(X\leq 2)$
En utilisant le MENU STAT (CASIO) puis DIST puis BIN puis Bcd, on a:

et donc $p(X\geq 3)=1-p(X\leq 2)=1-0,1808=0,8192$
Avec TI, on calcule $p(X\leq 2)$ avec BinomialCdf et la syntaxe BinomialCdf(2,4,0.2).

On répète cette fois $n$ fois de manière indépendante l'épreuve de Bernoulli de la question 1.
La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de flèches ayant atteint la cible (nombre de succès $S$) parmi les $n$ tirs successifs suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$ notée $\mathcal{B}(n;0,8)$.
L'espérance de $X$ est donc $E(X)=np$ et on veut $E(X)=12$
$E(X)=12 \Longleftrightarrow n\times 0,8=12 \Longleftrightarrow n=15$
Il faudra effectuer 15 tirs successifs pour atteindre la cible 12 fois en moyenne.