Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$:
Dans chaque cas, déterminer si les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.
  1. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\\-3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 6\\-3\\2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 2\\9\\-11 \end{pmatrix}$. -

    vecteurs coplanaires


    Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    Il fayt écrire un système d'équations avec les coordonnées des vecteurs
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    soit $\begin{cases} x_{\overrightarrow{w}}=ax_{\overrightarrow{u}}+b x_{\overrightarrow{v}}\\ y_{\overrightarrow{w}}=ay_{\overrightarrow{u}}+b y_{\overrightarrow{v}}\\ z_{\overrightarrow{w}}=az_{\overrightarrow{u}}+b z_{\overrightarrow{v}} \end{cases}$
    On a donc le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ -11=-3a+2b \end{cases}$
    Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
    $\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} 1=a+3b\\ 3=a-b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 3=(1-3b)-b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b\\ \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3b\\ 2=-4b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1-3\times \dfrac{-1}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} 2=2a+6b\\ 9=3a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{5}{2}\\ b=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$
    On regarde ensuite si la troisième égalité ($ -11=-3a+2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
    $ -3a+2b=-3\times \dfrac{5}{2}+2\times \dfrac{-1}{2}=\dfrac{-17}{2}\neq -11$
  2. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 2\\-3\\-4 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\13\\18 \end{pmatrix}$. -
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    On a donc le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b\\ 18=3a-4b \end{cases}$
    Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
    $\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2b\\ 13=2(-4-2b)-3b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2b\\ 21=-7b \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=-4-2\times (-3)\\ b=-3 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=a+2b\\ 13=2a-3b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=2\\ b=-3 \end{cases}$
    On regarde ensuite si la troisième égalité ($ 18=3a-4b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
    $3a-4b=3\times 2-4\times (-3)=6+12=18$
    donc $\overrightarrow{w}=2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$
  3. $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -2\\5\\1 \end{pmatrix}$, $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\27\\1 \end{pmatrix}$. -
    On veut savoir s'il existe un couple $(a;b)$ de réels tels que $\overrightarrow{w}=a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$
    On a donc le système d'équations suivant:
    $\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b\\ 1=a-2b \end{cases}$
    Détermination de $a$ et $b$ avec les deux premières équations:
    $\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -4=-2a+3(27-5a)\\ b=27-5a \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} -85=-17a\\ b=27-5a \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=5\\ b=27-5\times 5 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} -4=-2a+3b\\ 27=5a+b \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=5\\ b=2 \end{cases}$
    On regarde ensuite si la troisième égalité ($ 1=a-2b$) est vraie avec ces deux réels $a$ et $b$ calculés:
    $ a-2b=5-2\times 2=1$
    donc $\overrightarrow{w}=5\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)

Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Vecteurs et points coplanaires

- justifier que trois vecteurs sont coplanaires avec leurs coordonnées
- justifier que 4 points sont coplanaires


infos: | 15-20mn |

vidéos semblables


Pour compléter cet exercice, nous vous conseillons les vidéos suivantes semblables à l'exercice affiché.

exercices semblables


Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.