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Dans un repère orthonormé de l'espace, on donne $A(1;1;\sqrt{2})$, $B(\sqrt{2};-\sqrt{2};0)$ et $C(-1;-1;-\sqrt{2})$.
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- Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ puis $AB$ et $BC$
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Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=\sqrt{2}-1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=-\sqrt{2}-1\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} \sqrt{2}-1\\ -\sqrt{2}-1\\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} $
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=-1-\sqrt{2}\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=-1-(-\sqrt{2})=-1+\sqrt{2}\\ z_{\overrightarrow{BC}}=z_C-z_B=-\sqrt{2}-0=-\sqrt{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix} -1-\sqrt{2}\\ -1+\sqrt{2}\\ -\sqrt{2} \end{pmatrix} $
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
$\phantom{AB}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+(-1-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}$
$\phantom{AB}=\sqrt{2+1-2\sqrt{2}+2+1+2\sqrt{2}+2}$
$\phantom{AB}=\sqrt{8}$
$\phantom{AB}=2\sqrt{2}$
$BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2+(z_C-z_B)^2}$
$\phantom{BC}=\sqrt{(1-\sqrt{2})^2+(-1+\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}$
$\phantom{BC}=\sqrt{1+2-2\sqrt{2}+1+2+2\sqrt{2}+2}$
$\phantom{BC}=\sqrt{8}$
$\phantom{BC}=2\sqrt{2}$
- Calculer $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$.
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=x_{\overrightarrow{AB}}x_{\overrightarrow{BC}}+y_{\overrightarrow{AB}}y_{\overrightarrow{BC}}+z_{\overrightarrow{AB}}z_{\overrightarrow{BC}}$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=(\sqrt{2}-1)(-1-\sqrt{2}+(-\sqrt{2}-1)(-1+\sqrt{2})+(-\sqrt{2})(-\sqrt{2})$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=-\sqrt{2}-2+1-\sqrt{2}+\sqrt{2}-2+1-\sqrt{2}+2$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-4+4$
$\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}}=0$
- En déduire la nature de $ABC$.
$AB=BC$ et $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$
donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux
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