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On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère les points $A(0;4;1)$, $B (1;3;0)$, $C(2;-1;- 2)$ et $D (7;- 1;4)$.
  1. Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

    Coordonnées d'un vecteur dans l'espace


    L'espace est muni d'un repère quelconque.
    Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
    $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $
    Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=1-0=1\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=3-4=-1\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=0-1=-1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{AC}}=x_C-x_A=2-0=2\\ y_{\overrightarrow{AC}}=y_C-y_A=-1-4=-5\\ z_{\overrightarrow{AC}}=z_C-z_A=-2-1=-3 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ -3 \end{pmatrix} $
    $2x_{\overrightarrow{AB}}=2\times 1=2=x_{\overrightarrow{AC}}$
    $2y_{\overrightarrow{AB}}=2\times (-1)=-2\neq y_{\overrightarrow{AC}}$
    donc il n'existe aucun réel $k$ tel que $k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
    donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires
  2. Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1 \\ 3\end{pmatrix}$.
    1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.

      Orthogonalité et produit scalaire


      Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
      $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

      Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace


      Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
      $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$
      Il faut vérifier que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
      $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1 \\ 3\end{pmatrix}$, $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ -1 \end{pmatrix} $ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} 2\\ -5\\ -3 \end{pmatrix} $
      $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AB}=2\times 1+(-1)\times (-1)+3\times (-1)= 2+1-3=0$
      $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AC}=2\times 2+(-1)\times (-5)+3\times (-3)= 4+5-9=0$
      donc le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs (puisque $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés) du plan $(ABC)$
    2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.

      Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


      Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
      Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
      $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
      On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur normal au plan $(ABC)$ et les coordonnées de $A$ pour calculer $d$
      Le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ donc est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
      donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est de la forme $2x-y+3z+d=0$
      $A \in (ABC) \Longleftrightarrow 2x_A-y_A+3z_A+d=0$
      $\phantom{A \in (ABC)} \Longleftrightarrow -4+3+d=0$
      $\phantom{A \in (ABC)} \Longleftrightarrow d=1$
    3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.

      Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan


      Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
      Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
      $ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
      On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $D(7;-1;4)$
      Le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $D\in \Delta$
      Si $M(x;y;z)$ appartient à $\Delta$ on a alors:
      $\begin{cases} x=x_D+tx_{\overrightarrow{u}}=7+2t\\ y=y_D+ty_{\overrightarrow{u}}=-1-t\\ z=z_D+tz_{\overrightarrow{u}}=4+3t \end{cases}$
    4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$
      Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(ABC)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $\Delta$.
      Un point $M(x;y;z)$ appartient à $(ABC)$ si ses coordonnées vérifient $2x-y+3z+1=0$
      La représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=7+2t\\ y=-1-t\\ z=4+3t \end{cases}$ et en remplaçant $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $(ABC)$ obtenue, on a:
      $2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0 \Longleftrightarrow 14+4t+1+t+12+9t+1=0$
      $\phantom{2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0} \Longleftrightarrow 28+14t=0$
      $\phantom{2(7+2t)-(-1-t)+3(4+3t)+1=0} \Longleftrightarrow t=-2$
      En remplaçant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$, on obtient:
      $\begin{cases} x_H=7+2t=7+2\times (-2)=3\\ y_H=-1-t=-1-(-2)=1\\ z_H=4+3t=4+3\times (-2)=-2 \end{cases}$


      Penser à contrôler que les coordonnées de $H$ vérifient l'équation de $(ABC)$.
    5. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite $\Delta$ et du plan (ABC).
  3. Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
    1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
      Il faut vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles donc que les vecteurs normaux respectifs de $P_1$ et $P_2$ ne sont pas colinéaires
      $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P_1$
      et $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix} 1\\ 4\\ 0 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $P_2$
      $x_{\overrightarrow{n_1}}=x_{\overrightarrow{n_2}}$
      mais $y_{\overrightarrow{n_1}}\neq y_{\overrightarrow{n_2}}$
      donc les vecteurs $\overrightarrow{n_1}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires
      donc $P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles
    2. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4t-2\\ y =t\\ z = 3t + 2 \end{cases}$ avec $ t \in \mathbb{R}$.
      Les points d'intersection de $P_1$ et $P_2$ vérifient les équations des deux plans.
      On peut exprimer $x$ et $z$ en fonction de $y$ par exemple
      Les points d'intersection de $P_1$ et $P_1$ vérifient les équations des deux plans donc on a:
      $\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=-x-y\\ x=-4y-2 \end{cases}$
      $\phantom{\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=-(-4y-2)-y\\ x=-4y-2 \end{cases}$
      $\phantom{\begin{cases} x + y + z = 0\\ x + 4y + 2 =0 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} z=3y+2\\ x=-4y-2 \end{cases}$
      En posant $y=t$, on a alors:
      $\begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2 \end{cases}$
    3. La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
      Si $d$ est parallèle à $(ABC)$, un vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $(ABC)$
      $\begin{cases} x=-4t-2\\ y=t\\ z=3t+2 \end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$ est une représentation paramétrique de la droite $d$ donc $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} -4\\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$ (coefficients de $t$) est un vecteur directeur de $d$.
      $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1\\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
      $\overrightarrow{w}.\overrightarrow{u}=-4\times 2+1\times (-1)+3\times 3=-8-1+9=0$
      donc les vecteurs $\overrightarrow{w}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Equation cartésienne d'un plan

- vecteur normal
- déterminer une équation d'un plan
- position relative d'une droite et d'un plan
- intersection de droites et plans


infos: | 15-20mn |

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