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Résoudre les équations suivantes dans $\mathbb{C}$.
Donner la forme algébrique des solutions obtenues.
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Donner la forme algébrique des solutions obtenues.
- $3z-2+\overline{z}=2i$
conjugué d'un complexe
Soit $z=a+ib$ un complexe avec $a$ et $b$ réels.
Le conjugué de $z$ noté $\overline{z}$ est le compexe $\overline{z}=a-ib$On peut poser $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réelsOn pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et on a $\overline{z}=x-iy$.
$3z-2+\overline{z}=2i \Longleftrightarrow 3(x+iy)-2+x-iy=2i$
$\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 3x+3iy-2+x-iy=2i$
$\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 4x+2iy=2+2i$
$\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow 4x=2$ et $2y=2$
$\phantom{3z-2+\overline{z}=2i} \Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}$ et $y=1$
- $\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i$
Il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution puisqu'un dénominateur ne doit pas être nul
On peut ensuite utiliser les produits en croix.Il faut $z+1\neq 0$ soit $z\neq -1$
On résout donc sur $\mathbb{C} \setminus \lbrace -1 \rbrace $.
$\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i \Longleftrightarrow 2z-3i=3i(z+1)$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow 2z-3i=3iz+3i$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow 2z-3iz=3i+3i$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow z(2-3i)=6i$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow z=\dfrac{6i}{2-3i}$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow z=\dfrac{6i(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow z=\dfrac{12i+18i^2}{2^2+3^2}$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i} \Longleftrightarrow z=\dfrac{12i-18}{13}$
$\phantom{\dfrac{2z-3i}{z+1}=3i } \Longleftrightarrow z=\dfrac{12i-18}{13}$
- $\dfrac{z+i}{\overline{z}-1}=2$
Il faut d'abord déterminer l'ensemble de résolution.
On peut ensuite utiliser les produits en croix et poser $z=x+iy$Il faut $\overline{z}-1\neq 0$ soit $\overline{z} \neq 1$
On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels et on a $\overline{z}=x-iy$
Il faut donc $x-iy\neq 1$ donc $(x;y)\neq (1;0)$
Il faut donc résoudre l'équation $\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2$
et on résout donc sur $\mathbb{C} \setminus \lbrace 1 \rbrace $ (puisque $(x;y)\neq (1;0)$).
$\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 \Longleftrightarrow x+iy+i=2(x-iy-1)$
$\phantom{\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 } \Longleftrightarrow x+iy+i=2(x-iy-1)$
$\phantom{\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 } \Longleftrightarrow x+iy+i=2x-2iy-2$
$\phantom{\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 } \Longleftrightarrow x+iy-2x+2iy=-2-i$
$\phantom{\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 } \Longleftrightarrow -x+3iy=-2-i$
$\phantom{\dfrac{x+iy+i}{x-iy-1}=2 } \Longleftrightarrow \begin{cases} x=2\\ y=\dfrac{-1}{3} \end{cases}$ (les parties réelles et imaginaires doivent être égales)
$z=2-i\dfrac{1}{3} \in \mathbb{C} \setminus \lbrace 1 \rbrace $
Penser à contrôler avec la calculatrice en calculant $\dfrac{z+i}{\overline{z}-1}$
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