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  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1426

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On pose $P(z)=z^3-z^2+2z-2$ avec $z\in \mathbb{C}$.
  1. Montrer que $1$ est une racne de $P$

    Aide

    On remplace $z$ par $1$ dans $P(z)$.

    Solution

    $P(1)=1^3-1^2+2\times 1-2=1-1+2-2=0$
  2. En déduire une factorisation de $P(z)$ sous forme d'un produit d'un facteur du premier degré et d'un facteur du second degré.

    Aide

    On a $P(1)=0$ donc $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $P(z)=(z-1)(az^2+bz+c)$
    On peut développer $(z-1)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.

    Solution

    $1$ est une racine du polynôme donc on peut factoriser par $z-1$.
    $P(z)=(z-1)(az^2+bz+c)$.

    $(z-1)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-az^2-bz-c=az^3+(b-a)z^2+(c-b)z-c$

    et on a $P(z)=z^3-z^2+2z-2$ donc par identification des coefficients:
    $\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-a=-1~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-b=2~~\text{identification du coefficient de }z\\ -c=-2~~\text{identification de la constante} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-1+1\\ c=2+b\\ c=2 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=2\\ c=2 \end{cases}$
  3. En déduire les racines de $P(z)$.

    Rappel de cours

    Équations du second degré à coefficients réels

    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$

    Aide

    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
    Il faut résoudre $z^2-z+1=0$

    Solution

    $P(z)=0 \Longleftrightarrow (z-1)(z^2+2)=0 \Longleftrightarrow z-1=0$ ou $z^2+2=0 \Longleftrightarrow z=1$ ou $z=i\sqrt{2}$ ou $z=-i\sqrt{2}$

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