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  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1427

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On considère l'équation $z^3-3z^2+4z-12=0$ dans $\mathbb{C}$.
  1. Montrer que $3$ est une solution.

    Aide

    On remplace $z$ par $3$ dans $P(z)$.

    Solution

    $3^3-3\times 3^2+4\times 3-12=9-9+1-12=0$
  2. En déduire une factorisation de $z^3-3z^2+4z-12$

    Aide

    $z^3-3z^2+4z-12$ peut s'écrire sous la forme $(z-3)(az^2+bz+c)$
    On peut développer $(z-3)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.

    Solution

    $3$ est une racine du polynôme $z^3-3z^2+4z-12$ donc on peut factoriser par $z-3$.
    $(z-3)(az^2+bz+c)$.

    $=az^3+bz^2+cz-3az^2-3bz-3c$
    $=az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c$

    et on a $az^3+(b-3a)z^2+(c-3b)z-3c=z^3-3z^2+4z-12$ donc par identification des coefficients:
    $\begin{cases} a=1~~\text{identification du coefficient de }z^3\\ b-3a=-3~~\text{identification du coefficient de }z^2\\ c-3b=4~~\text{identification du coefficient de }z\\ -3c=-12~~\text{identification de la constante} \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=-3+3\\ c=4+3b\\ c=4 \end{cases}$
    $\Longleftrightarrow \begin{cases} a=1\\ b=0\\ c=4\\ c=4 \end{cases}$
  3. En déduire les solutions de $z^3-3z^2+4z-12=0$

    Rappel de cours

    Équation du second degré

    $a$ est un réel.
    L'équation $z^2=a$
    - admet deux solutions réelles si $a>0$
    Ces solutions sont $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
    - admet deux solutions complexes imaginaires pures si $a<0$
    Ces solutions sont $i\sqrt{a}$ et $-i\sqrt{a}$.

    Aide

    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul

    Solution

    $z^3-3z^2+4z-12=0 \Longleftrightarrow (z-3)(z^2+4)=0 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z^2=-4 \Longleftrightarrow z=3$ ou $z=2i$ ou $z=-2i$

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