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- On pose $P_n(z)=z_n-z_0^n$ avec $n\in \mathbb{N}^*$
Démontrer par récurrence que $P_n(z)$ peut s'écrire $P_n(z)=(z-z_0)Q(z)$ avec $Q$ polynôme de degré maximum $n-1$ pour tout entier naturel $n$ non nul.Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
On a $P_{n+1}(z)=z^{n+1}-z_0^{n+1}=z\times z^n-z_0^{n+1}=z\times (z^n-z_0^n+z_0^n)-z_0^{n+1}$La démonstration se fait par récurrence.
On note $P_n(z)=z^n-z_0^n$
Initialisation:
Pour $n=1$ on a $P_1(z)=z-z_0=(z-z_0)\times 1$ donc $Q(z)=1$ ($Q$ a pour degré $0$).
Hérédité: On suppose que la propriété est vraie pour un entier $n\neq 0$ donc que $P_n(z)=(z-z_0)Q(z)$ avec $Q$ de degré maximum $n-1$.
$P_{n+1}(z)=z^{n+1}-z_0^{n+1}$
$~~~~~~~~=z\times z^n-z_0^{n+1}$
$~~~~~~~~=z\times (z^n-z_0^n+z_0^n)-z_0^{n+1}$ (On fait "apparaître $P_n(z)$)
$~~~~~~~~=z\times ((z-z_0)Q(z)+z_0^n)-z_0^{n+1}$ ($z_n-z_0^n=P_n(z)=(z-z_0)Q(z)$)
$~~~~~~~~=z(z-z_0)Q(z)+z\times z_0^n-z_0^{n+1}$
$~~~~~~~~=z(z-z_0)Q(z)+z\times z_0^n-z_0^{n+1}$
$~~~~~~~~=z(z-z_0)Q(z)+z\times z_0^n-z_0\times z_0^{n}$
$~~~~~~~~=z(z-z_0)Q(z)+z_0^n(z-z_0)$
$~~~~~~~~=(z-z_0)(zQ(z)+z_0^n)$
Or $Q$ est de degré maximum $n-1$ donc $zQ(z)$ est de degré maximum $n$ soit $zQ(z)+z_0^n$ de degré maximum $n$ ($z_0^n$ est une constante)
donc on a $P_{n+1}(z)=(z-z_0)Q_1(z)$ avec $Q_1$ de degré maximum $n$
donc la propriété est vraie pour tout $n\neq 0$
- Soit $P$ un polynôme de degré $n$, $P(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}+...+c_1z+c_0$ avec $c_0$, $c_1$,...$c_n$ réel et $c_n\neq 0$ et $z_0$ une racine de $P$.
Montrer que $P(z)=c_n(z^n-z_0^n)+c_{n-1}(z^{n-1}-z_0^{n-1})+...+c_1(z-z_0)$.
En déduire que $P$ peut s'écrire sous la forme $P(z)=(z-z_0)Q(z)$ avec $Q$ de degré maximum $n-1$.$P(z_0)=c_nz_0^n+c_{n-1}z_0^{n-1}+...+c_1z_0+c_0=0$ et $P(z)=P(z)-P(z_0)$On a $P(z)=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}+...+c_1z+c_0$ avec $c_0$, $c_1$,...$c_n$ réel et $c_n\neq 0$.
et $P(z_0)=c_nz_0^n+c_{n-1}z_0^{n-1}+...+c_1z_0+c_0=0$
donc $P(z)=P(z)-P(z_0)$
$~~~~~~~~~~~~~~~~=c_nz^n+c_{n-1}z^{n-1}+...+c_1z+c_0-(c_nz_0^n+c_{n-1}z_0^{n-1}+...+c_1z_0+c_0)$
$~~~~~~~~~~~~~~~~=c_nz^n-c_nz_0^n+c_{n-1}z^{n-1}-c_{n-1}z_0^{n-1}+...+c_1z-c_1z_0+c_0-c_0$
$~~~~~~~~~~~~~~~~=c_n(z^n-z_0^n)+c_{n-1}(z^{n-1}-z_0^{n-1})+...+c_1(z-z_0)$
Or d'après la propriété de la question 1, on a $z^n-z_0^n=(z-z_0)Q_n(z)$ avec $Q_n$ de degré maximum $n-1$
De même $z^{n-1}-z_0^{n-1}=(z-z_0)Q_{n-1}(z)$ avec $Q_{n-1}$ de degré maximum $n-2$...
donc $P(z)=c_n(z-z_0)Q_n(z)+c_{n-1}(z-z_0)Q_{n-1}(z)+...+c_1(z-z_0)=(z-z_0)(c_nQ_n(z)+c_{n-1}Q_{n-1}(z)+...+c_1)$
donc en posant $Q(z)=c_nQ_n(z)+c_{n-1}Q_{n-1}(z)+...+c_1$ de degré maximum $n-1$ (degré de $Q_n$)
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