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- Déterminer le module de $z_1=2-i$ et de $z_2=2-3i$
Module d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.Il faut identifier la partie réelle et la partie imaginaire$|z_1|=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$
$|z_2|=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}$
- Déterminer la forme algébrique de $z=\dfrac{z_1}{z_2}$ puis le module de $z$
Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué de $z_2$ soit $\overline{z_2}=2+3i$$z=\dfrac{z_1}{z_2}$
$~~~~~~=\dfrac{2-i}{2-3i}$
$~~~~~~=\dfrac{(2-i)(2+3i)}{(2-3i)(2+3i)}$
$~~~~~~=\dfrac{4+6i-2i-3i^2}{2^2+3^2}$
$~~~~~~=\dfrac{4+4i+3}{4+9}$
$~~~~~~=\dfrac{7+4i}{13}$
$|z|=\sqrt{\left(\dfrac{7}{13}\right)^2+\left(\dfrac{4}{13}\right)^2}$
$~~~~=\sqrt{\dfrac{49}{169}+\dfrac{16}{169}}$
$~~~~=\sqrt{\dfrac{65}{169}}$
$~~~~=\dfrac{\sqrt{65}}{13}$
- Retrouver $|z|$ en utilisant les résultats de la question 1
$\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$$|z|=\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}$
On peut multiplier par $\sqrt{13}$ au numérateur et au dénominateur pour retrouver le résultat de la question 2.
$|z|=\dfrac{\sqrt{5}\sqrt{13}}{\sqrt{13}\sqrt{13}}=\dfrac{\sqrt{65}}{13}$
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