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Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 10 Maths expertes complexes
  3. exercice corrigé nº1461

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Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
  1. On note $a=3-3i$ et $b=-a$.
    1. Ecrire $b$ sous forme exponentielle.

      Rappel de cours

      Forme trigonométrique

      Soit $z=x+iY$ un complexe.
      Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
      Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
      On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
      Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

      Forme exponentielle

      $z$ est un complexe d'argument $\alpha$
      La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$

      Aide

      Il faut calculer $|b|$ et on a $cos(arg(b))=\dfrac{-3}{|b|}$ et $sin(arg(b))=\dfrac{3}{|b|}$

      Solution

      $b=-a=-3+3i$
      $|b|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
      $b=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-3}{3\sqrt{2}}+i\dfrac{3}{3\sqrt{2}}\right)=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$
      Si on note $\theta=arg(b)$, on a alors:
      $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} $

      donc $\theta=\dfrac{3\pi}{4}$ ($2\pi$).
    2. Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ tel que $OB=OC$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$).

      Aide

      $OB=|b|$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=arg\left(\dfrac{c}{b}\right)=arg(c)-arg(b)$

      Solution

      $OB=|b|=|-3+3i|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
      $OC=OB \Longleftrightarrow |c|=|b| \Longleftrightarrow |c|=3\sqrt{2}$
      $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=arg(c)-arg(b)$ ($2\pi$)
      donc $arg(c)-arg(b)=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) soit $arg(c)=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{4}$ ($2\pi$)

      La forme algébrique de $c$ est donc:
      $c=3\sqrt{2}\left(cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)\right)$
      $\phantom{c}=3\sqrt{2}\left(\dfrac{-\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{-\sqrt{2}}{2}\right)$
      $\phantom{c}=-3-3i$
      Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice

      La mesure principale de $arg(c)$ est $\dfrac{5\pi}{4}-2\pi=\dfrac{-3\pi}{4}$
    3. Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

      Aide

      Les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ doivent être égales.

      Solution

      $ABCD$ est un parallélogramme
      $\Longleftrightarrow \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$
      $\Longleftrightarrow b-a=c-d$
      $\Longleftrightarrow -3+3i-(3-3i)=-3-3i-d$
      $\Longleftrightarrow -3+3i-3+3i=-3-3i-d$
      $\Longleftrightarrow -3+9i=-d$
      $\Longleftrightarrow d=3-9i$

  2. On veut déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=2BD$.
    1. Montrer que $D$ appartient à $\mathcal{E}$.

      Aide

      ABCD parallélogramme donc $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$

      Solution

      $ABCD$ parallélogramme donc $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$
      donc $||\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}||=||\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DB}||=||2\overrightarrow{DB}||=2DB$
    2. On note $z$ l'affixe de $M$.
      Montrer que $M\in \mathcal{E} \Longleftrightarrow |z+1+i|=4\sqrt{5}$
      En déduire la nature de $\mathcal{E}$.

      Aide

      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MA}$ est $z-a$
      Il faut donc calculer le module de $z-a+z-b+z-c$

      Solution

      L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ est :
      $a-z+b-z+c-z=3-3i-3+3i-3-3i-3z=-3-3i-3z$
      et $BD=|d-b|=|3-9i-(-3+3i)|=|6-12i|=\sqrt{6^2+(-12)^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}$
      $M\in \mathcal{E} \Longleftrightarrow ||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=2BD$
      $\phantom{M\in \mathcal{E}} \Longleftrightarrow|-3-3i-3z|=2\times |d-b|$
      $\phantom{M\in \mathcal{E}} \Longleftrightarrow |-3(1+i+z)|=2\times 6\sqrt{5}$
      $\phantom{M\in \mathcal{E}} \Longleftrightarrow 3|1+i+z|=12\sqrt{5}$
      $\phantom{M\in \mathcal{E}} \Longleftrightarrow |z+1+i|=4\sqrt{5}$

      Si on pose $I$ d'affixe $z_I=-1-i$, on a alors
      $|z+1+i|=|z-(-1-i)|=|z-z_I|=IM=4\sqrt{2}$
      donc $M$ appartient au cercle de centre $I(-1;-1)$ et rayon $4\sqrt{2}$.


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