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- Calculer $cos(x)+cos(x+\dfrac{2\pi}{3})+cos(x+\dfrac{4\pi}{3})$
Formules d'addition
Pour tous réels $a$ et $b$, on a:
$cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)$
$cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)$
$sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)$
$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$$cos(x+\dfrac{2\pi}{3})=cos(x)cos(\dfrac{2\pi}{3})-sin(x)sin(\dfrac{2\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}cos(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$
$cos(x+\dfrac{4\pi}{3})=cos(x)cos(\dfrac{4\pi}{3})-sin(x)sin(\dfrac{4\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}cos(x)-\dfrac{-\sqrt{3}}{2}sin(x)=\dfrac{-1}{2}cos(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$
on a alors:
$cos(x)+cos(x+\dfrac{2\pi}{3})+cos(x+\dfrac{4\pi}{3})=cos(x)+\dfrac{-1}{2}cos(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)+\dfrac{-1}{2}cos(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}sin(x)$
$\phantom{cos(x)+cos(x+\dfrac{2\pi}{3})+cos(x+\dfrac{4\pi}{3})}=cos(x)-cos(x)$
$\phantom{cos(x)+cos(x+\dfrac{2\pi}{3})+cos(x+\dfrac{4\pi}{3})}=0$
- Calculer $sin(x)+sin(x+\dfrac{2\pi}{3})+sin(x+\dfrac{4\pi}{3})$
$sin(x+\dfrac{2\pi}{3})=sin(x)cos(\dfrac{2\pi}{3})+cos(x)sin(\dfrac{2\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}sin(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)$
$sin(x+\dfrac{4\pi}{3})=sin(x)cos(\dfrac{4\pi}{3})+cos(x)sin(\dfrac{4\pi}{3})=\dfrac{-1}{2}sin(x)+\dfrac{-\sqrt{3}}{2}cos(x)=\dfrac{-1}{2}sin(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)$
on a alors:
$sin(x)+sin(x+\dfrac{2\pi}{3})+sin(x+\dfrac{4\pi}{3})=sin(x)+\dfrac{-1}{2}sin(x)+\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)+\dfrac{-1}{2}sin(x)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos(x)$
$\phantom{sin(x)+sin(x+\dfrac{2\pi}{3})+sin(x+\dfrac{4\pi}{3})}=sin(x)-sin(x)$
$\phantom{sin(x)+sin(x+\dfrac{2\pi}{3})+sin(x+\dfrac{4\pi}{3})}=0$
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