Le but de l'exercice est de démontrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel (n'est pas rationnel).
La démonstration se fait par l'absurde donc on suppose que $\sqrt{2}$ est rationnel donc qu'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ tels que $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ fraction irréductible donc avec $a$ et $b$ premiers entre eux (c'est-à-dire la fraction ne puisse pas être simplifiée et donc $a$ et $b$ n'ont pas de diviseur commun).

1. Montrer alors que $a^2$ est un nombre pair.

   Aide

   Un nombre pair est un multiple de $2$

   Solution

   $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ donc $2=\dfrac{a^2}{b^2}$ (on élève les deux membres au carré)
   soit $a^2=2b^2$
   donc $a^2$ est un multiple de $2$
   donc $a^2$ est un nombre pair.
2. Montrer si $n$ est un entier impair alors $n^2$ est impair et en déduire que $a$ est pair.

   Aide

   Si $n$ est impair alors $n$ peut s'écrire $n=2p+1$ avec $p$ entier naturel

   Solution

   Si $n$ est impair alors il existe un entier naturel $p$ tel que $n=2p+1$.
   $n^2=(2p+1)^2=4p^2-4p+1$
   $4p^2$ est pair puisque c'est un multiple de $2$ et $4p$ également donc $n^2$ est la somme d'un nombre pair $4p^2+4p$ et de 1 donc impair.
   Conclusion: si $a^2$ est pair alors $a$ est pair.
   En effet avec $a$ impair on a $a^2$ impair ce qui est impossible ici.
3. En déduire que $b$ est pair.

   Aide

   $a$ est pair donc il existe un entier naturel $p$ tel que $a=2p$ et on a $a^2=2b^2$

   Solution

   $a$ est pair donc il existe un entier naturel $p$ tel que $a=2p$.
   On a $2b^2=a^2=(2p)^2$ (question 1)
   $2b^2=(2p)^2\Longleftrightarrow 2b^2=4p^2$
   $\phantom{2b^2=(2p)^2}\Longleftrightarrow b^2=2p^2$
   donc $b^2$ est pair (multiple de $2$)
   donc $b$ est pair.
4. Conclure sur l'irrationalité de $\sqrt{2}$.

   Aide

   On a supposé que $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$fraction irréductible et on a $a$ et $b$ pairs...

   Solution

   $\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}$ fraction irréductible
   et on a $a$ et $b$ pairs donc $\dfrac{a}{b}$ peut être simplifiée (par 2) et n'est donc pas irréductible, ce qui est contraire à l'hypothèse
   donc la supposition du départ est fausse
   donc $\sqrt{2}$ est irrationnel (n'est pas un rationnel) donc $\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$.