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On considère les matrices $A=\begin{pmatrix} 4&-6\\ 1&-1 \end{pmatrix}$ et $P=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix}$
  1. Montrer que $P$ est inversible et calculer $P^{-1}$.

    Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2


    Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
    le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}

    Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2


    Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
    $A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$
    $det(P)=3\times 1-2\times 1=1$
    $det(P)\neq 0$ donc $P$ est inversible.
    $P^{-1}=\dfrac{1}{det(P)}\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix}$ et $det(P)=1$
  2. Montrer que $D=P^{-1}AP$ est une matrice diagonale.

    Matrice diagonale


    Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls sauf la diagonale.
    La matrice $\begin{pmatrix}2&0&0\\ 0&-3&0\\\ 0&0&2 \end{pmatrix} $ est une matrice diagonale d'ordre 3.

    Produit de deux matrices


    Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
    Schématiquement on a:
    $P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4&-6\\ 1&-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4\times 3-6\times 1&4\times 2-6\times 1\\ 1\times 3-1\times 1&1\times 2-1\times 1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6&2\\ 2&1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 1\times 6-2\times 2&1\times 2-2\times 1\\ -1\times 6+3\times 2&-1\times 2+3\times 1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
  3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul on a $D^n=\begin{pmatrix} 2^n&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$

    Raisonnement par récurrence


    On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
    • $P_0$ vraie
    • Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
    • On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    On peut utiliser une démonstration par récurrence
    On peut utiliser un raisonnement par récurrence pour montrer la propriété $P_n$: $D^n=\begin{pmatrix} 2^n&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
    Initialisation
    $\begin{pmatrix} 2^1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}=D$ donc la propriété est vraie au rang 1
    Hérédité
    On suppose qu'il exisiste un entier $k$ tel que la propriété $P_k$ soit vraie soit $D^k=\begin{pmatrix} 2^k&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ et on veut montrer que la propriété $P_{k+1}$ est vraie.
    $P_{k+1}=P^k\times P$
    $~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^k&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^k\times 2+0\times 0&2^k\times 0+0\times 1\\ 0\times 2+1\times 0&0\times 0+1\times 1 \end{pmatrix}$
    $~~~~~~~~~~=\begin{pmatrix} 2^{k+1}&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
    donc $P_{k+1}$ est vraie
  4. Déduire des questions précédentes l'expression de $A^n$ pour tout entier $n>0$
    $D^n=D\times D....\times D=P^{-1}AP\times P^{-1}AP.....+P^{-1}AP$
    $D^n=D\times D....\times D$ et on a $D=P^{-1}AP$
    $~~~~~=P^{-1}AP\times P^{-1}AP\times P^{-1}AP.....\times P^{-1}AP$
    $~~~~~=P^{-1}A\times A\times A....\times AP$
    $~~~~~=P^{-1}A^nP$
    On a donc $D^n=P^{-1}A^nP$
    $D^n=P^{-1}A^nP \Longleftrightarrow PD^n=PP^{-1}A^nP$
    $\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^n=I_2A^nP$
    $\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^nPP^{-1}$
    $\phantom{D^n=P^{-1}A^nP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^nI_2$
    $\phantom{D^n=P^{-1}AP} \Longleftrightarrow PD^nP^{-1}=A^n$
    On a donc $A^n=PDP^{-1}$
    $A^n=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1&-2\\ -1&3 \end{pmatrix}$
    $~~~~=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n\times 1+0\times (-1)&2^n\times (-2)+0\times 3\\ 0\times 1+1\times (-1)&0\times (-2)+1\times 3 \end{pmatrix}$
    $~~~~=\begin{pmatrix} 3&2\\ 1&1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2^n&-2^{n+1}\\ -1& 3 \end{pmatrix}$
    $~~~~= \begin{pmatrix} 3\times 2^n+2\times (-1)&3\times (-2^{n+1})+2\times 3\\ 1\times 2^n+1\times (-1)&1\times (-2^{n+1})+1\times 3 \end{pmatrix}$
    $~~~~= \begin{pmatrix} 3\times 2^n-2&-3\times 2^{n+1}+6\\ 2^n-1&- 2^{n+1}+3 \end{pmatrix}$

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