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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
On veut déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tel que $|z-3+i|=4$.
  1. Méthode analytique
    En posant $z=x+iy$, montrerque l'ensemble des points $M$ est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

    Distances et modules


    Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $AB=|z_B-z_A|$

    Équation d'un cercle


    Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
    Déterminer la partie réelle et imaginaire de $z-3+i$ pour calculer $|z-3+i|$
    $|x+iy-3+i|=|x-3+i(y+1)|$
    $\phantom{|x+iy-3+i|}=\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$
    $\phantom{|x+iy-3+i|}=\sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}$
    $|z-3+i|=4\Longleftrightarrow \sqrt{(x-3)^2+(y+1)^2}=4$
    $\phantom{|z-3+i|=4}\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y+1)^2=4^2$
    $\phantom{|z-3+i|=4}\Longleftrightarrow (x-3)^2+(y-(-1))^2=4^2$
    Forme $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
  2. Méthode géométrique
    Déterminer l'affixe de $A$ telle que $AM=|z-3+i|$.
    En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $|z-3+i|=4$
    On doit déterminer $z_A$ tel que $|z-z_A|=|z-3+i|$
    $z-3+i=z-(3-i)$
    Si on pose $z_A=3-i$, on a $AM=|z-z_A|=|z-(3-i)|=|z-3+i|$
    $|z-3+i|=4 \Longleftrightarrow AM=4$

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