Cas 1: $n$ pair
On peut poser $n=2k$ avec $k$ entier naturel.
On a alors:
$n^5-n=n(n^4-1)=2k(n^4-1)=2K$ avec$K=k(n^4-1$ entier relatif
donc $a_n$ est pair.
-Cas $n$ impair
On peut poser $n=2k+1$ avec $k$ entier naturel.
$a_n=n(n^4-1)$
$~~~~=n((2k+1)^4-1)$ avec $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
$~~~~=n(16k^4+4\times 8k^3+6\times 4k^2+4\times 2k+1-1)$
$~~~~=n(16k^4+32k^3+24k^2+8k)$
$~~~~=2n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$
$~~~~=2K'$ avec $K=n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$ entier relatif
donc $a_n$ est pair.
donc $a_n$ pair pour tout entier naturel $n$.

Avec les congruences:
Supposons $n\equiv p$ $(3)$ avec $0\leq p\leq 2$
On a alors:
$n^5\equiv p^5$ $(3)$
et $-n\equiv -p$ $(3)$
Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(3)$

donc $n^5-n\equiv p^5-p\equiv 0$ $(3)$
donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $3$ est $0$
donc $a_n$ divisible par $3$.

Supposons $n\equiv p$ $(5)$ avec $0\leq p\leq 4$
On a alors:
$n^5\equiv p^5$ $(5)$
et $-n\equiv -p$ $(5)$
Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$

$n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$ et $p^5-p\equiv 0$ $(5)$
donc $n^5-n\equiv 0$ $(5)$
donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $5$ est $0$
donc $a_n$ divisible par $5$.