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On considère l'équation $E$: $8x+12y=24$
- Déterminer PGCD$(8,12)$
- En déduire que l'équation $E$ admet au moins une solution
corollaire du théorème de Bezout
L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple de PGCD$(a,b)$PGCD$(8,12)=4$ et $4$ divise $24$
- Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.On peut diviser les coefficients par PGCD$(8,12)$$8x+12y=24\Longleftrightarrow 2x+3y=6$
$2\times (-3)+4\times 3=-6+12=6$
- En déduire toutes les solutions de $E$
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$On a $2x+3y=-2\times 3+4\times 3$$2x+3y=-2\times 3+4\times 3=6$
$2x+3y=-2\times 3+4\times 3 \Longleftrightarrow 2x+2\times 3=-3y+4\times 3$
$\phantom{2x+3y=-2\times 3+4\times 3} \Longleftrightarrow 2(x+ 3)=3(-y+4)$
PGCD$(2,3)=1$ donc $2$ et $3$ sont premiers entre eux et $2$ divise $3(-y+4)$
et d'après le théorème de Gauss, $2$ divise $-y+4$
donc $-y+4=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
soit $y=-2k+4$
$2x+3(-2k+4)=6 \Longleftrightarrow 2x-6k+12=6$
$\phantom{2x+3(-2k+4)=6} \Longleftrightarrow 2x=6k-6$
$\phantom{2x+3(-2k+4)=6} \Longleftrightarrow x=3k-3$
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