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Résoudre les équations suivantes:
penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
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penser à contrôler avec la calculatrice la ou les solutions obtenues.
- $\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x}$
Quotients égaux
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \Longleftrightarrow ac=bd$ (avec $b\neq 0$ et $d\neq 0$)Il faut d'abord chercher l'ensemble de définition. On doit avoir un dénominateur différent de 0 dans les deux membres.
On peut utiliser les produits en croix égaux.Il faut que les dénominateurs soient différents de 0
$x-2=0 \Longleftrightarrow x=2$ et $3-x=0\Longleftrightarrow -x=-3\Longleftrightarrow x=3$
On résout donc cette équation sur $D_f=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 2;3 \right\rbrace$.
$D_f=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace 2;3 \right\rbrace$ se lit $\mathbb{R}$ privé de 2 et de 3 soit tous les réels sauf 2 et sauf 3.
Pour tout réel $x\in D_f$, on a donc:
$\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x} \Longleftrightarrow 3-x=3(x-2)$
$\phantom{\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x}} \Longleftrightarrow 3-x=3x-6$
$\phantom{\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x}} \Longleftrightarrow -4x=-9$
$\phantom{\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{-9}{-4}$
$\phantom{\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{3}{3-x}} \Longleftrightarrow x=\dfrac{9}{4}$
On a bien $\dfrac{9}{4}\in D_f$.
- $\dfrac{2}{x^2-4}=-1$
Il faut d'abord chercher l'ensemble de résolution
$2^2=4$ et $(-2)^2=4$
On peut utiliser les produits en croix égauxIl faut que le dénominateur soit différent de 0
$x^2-4=0 \Longleftrightarrow x^2=4 \Longleftrightarrow x=\sqrt{4}=2$ ou $x=-\sqrt{4}=-2$
On résout donc cette équation sur $D_f=\mathbb{R} \setminus \left\lbrace -2;2 \right\rbrace$.
Pour tout réel $x\in D_f$, on a donc:
$\dfrac{2}{x^2-4}=-1 \Longleftrightarrow 2=-(x^2-4)$
$\phantom{\dfrac{2}{x^2-4}=-1} \Longleftrightarrow 2=-x^2+4$
$\phantom{\dfrac{2}{x^2-4}=-1} \Longleftrightarrow x^2=2$
$\phantom{\dfrac{2}{x^2-4}=-1} \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$
On a bien $\sqrt{2}\in D_f$ et $-\sqrt{2} \in D_f$.
- $\dfrac{8x}{x^2+4}=2$
Il faut que le dénominateur soit différent de 0
$x^2+4=0 \Longleftrightarrow x^2=-4$ et cette équation n'a pas de solution
On résout donc cette équation sur $D_f=\mathbb{R}$.
Pour tout réel $x\in D_f$, on a donc:
$\dfrac{8x}{x^2+4}=2 \Longleftrightarrow 8x=2x^2+8$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2 } \Longleftrightarrow -2x^2+8x-8=0$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2} \Longleftrightarrow -2(x^2-4x+4)=0$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2} \Longleftrightarrow x^2-4x+4=0$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2} \Longleftrightarrow (x-2)^2=0$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2} \Longleftrightarrow x-2=0$
$\phantom{\dfrac{8x}{x^2+4}=2} \Longleftrightarrow x=2$
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