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On donne $2,645 < \sqrt{7} < 2,646$
  1. Quelle est l'amplitude de cet encadrement?

    Encadrement d'un réel


    Si $x$ est un réel tel que $a< x < b$ avec $a$ et $b$ réels alors $a$ et $b$ réalisent un encadrement de $x$ d'amplitude $b-a$.
    Par exemple, si $2,4 < x < 2,5$ alors on a un encadrement de $x$ d'amplitude $2,5-2,4=0,1$ (un dixième).
  2. Donner alors un encadrement de $1+\dfrac{\sqrt{7}}{2}$.

    Opérations sur les inégalités


    Soit $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre réels.
    . $a\leq b \Longleftarrow a+c\leq b+c$
    On ne change pas une inégalité en ajoutant (ou soustrayant) un même nombre aux deux membres)
    - Si $a\leq c$ et $c\leq d$ alors $a+c\leq b+d$
    On peut ajouter membre à membre deux inégalités.
    - Si $c>0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\leq bc$
    On ne change pas une inégalité en multipliant les deux membres par un même nombre strictement positif.
    - Si $c<0$, $a\leq b\Longleftrightarrow ac\geq bc$
    Une inégalité change de sens en multipliant les deux membres par un même nombre strictement négatif.
    $1+\dfrac{\sqrt{7}}{2}=1+\dfrac{1}{2}\times \sqrt{7}$
    $1+\dfrac{\sqrt{7}}{2}=1+\dfrac{1}{2}\times \sqrt{7}$
    $2,645 < \sqrt{7} < 2,646$
    donc $\dfrac{1}{2}\times 2,645 < \dfrac{1}{2}\times \sqrt{7} <\dfrac{1}{2}\times 2,646$
    soit $ 1,3225 <\dfrac{\sqrt{7}}{2} <1,323$
    donc $1+1,3225 < 1+\dfrac{\sqrt{7}}{2} <1+1,323$


    L'encadrement obtenu a pour amplitude $2,323-2,3225=0,0005$
  3. Encadrer $7-2\sqrt{7}$.
    On multiplie d'abord par $-2$ puis on ajoute $7$
    $2,645 < \sqrt{7} < 2,646$
    donc $-2\times 2,645 > -2\times \sqrt{7} > -2\times 2,646$ l'inégalité change de sens
    donc $-5,29 > -2\times \sqrt{7} > -5,292$
    soit $7-5,29 > 7-2\times \sqrt{7} > 7-5,292$

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