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Un cycliste effectue un entraînement et il effectue la moitié du parcours à la vitesse moyenne de $20$ km.h$^{-1}$ et l'autre moitié à la vitesse moyenne de $x$ km.h$^{-1}$.
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- Montrer que sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours est donnée par l'expression $v(x)=\dfrac{40x}{x+20}$
rappel: on a la relation $d=v\times t$ et on peut partager le parcours en deux parcours de longueurs égales $\dfrac{d}{2}$Si on note $d$ la distance totale, on a pour la première moitié du parcours une distance égale $\dfrac{d}{2}$ et un temps de parcours $t_1$:
$\dfrac{d}{2}=20\times t_1$ soit $t_1=\dfrac{d}{40}$
et pour la seconde moitié du parcours une distance égale $\dfrac{d}{2}$ et un temps de parcours $t_2$:
$\dfrac{d}{2}=x\times t_2$ soit $t_2=\dfrac{d}{2x}$
Si on note $v(x)$ la vitesse moyenne sur la totalité du parcours et $t=t_1+t_2$ le temps total, on a:
$t_1+t_2=\dfrac{d}{40}+\dfrac{d}{2x}$
$\phantom{t_1+t_2}=\dfrac{d\times 2x}{40\times 2x}+\dfrac{d\times 40}{40\times 2x}$ (réduction au même dénominateur)
$\phantom{t_1+t_2}=\dfrac{2dx+40d}{80x}$
$\phantom{t_1+t_2}=\dfrac{2d(x+20)}{80x}$
$\phantom{t_1+t_2}=\dfrac{d(x+20)}{40x}$
et donc $v(x)=\dfrac{d}{t}=\dfrac{d}{\dfrac{d(x+20)}{40x}}=d\times \dfrac{40x}{d(x+20)}=\dfrac{40x}{x+20}$
- Etudier le signe de l'expression $\dfrac{10x-600}{x+20}$
$10x-600$ s'annule pour $x=\dfrac{600}{10}=60$
et $x+20$ s'annule pour $x=-20$
donc $\dfrac{10x-600}{x+20}> 0$ (zone bleue) pour $x\in ]-\infty;-20[\cup ]60;+\infty[$ (zone verte). - Déterminer les valeurs possibles de $x$ pour que sa vitesse moyenne sur l'ensemble du parcours soit strictement supérieure à $30$ km.h$^{-1}$
Il faut résoudre $v(x) > 30$ en se ramenant à l'étude du signe d'un quotient$v(x) >30 \Longleftrightarrow \dfrac{40x}{x+20} > 30$
$\phantom{v(x) >30} \Longleftrightarrow \dfrac{40x}{x+20} -30 > 0$
$\phantom{v(x) >30} \Longleftrightarrow \dfrac{40x}{x+20} -\dfrac{30(x+20)}{x+20} > 0$
$\phantom{v(x) >30} \Longleftrightarrow \dfrac{40x-30(x+20)}{x+20} > 0$
$\phantom{v(x) >30} \Longleftrightarrow \dfrac{40x-30x-600}{x+20} > 0$
$\phantom{v(x) >30} \Longleftrightarrow \dfrac{10x-600}{x+20} > 0$
D'après la question précédente $\dfrac{10x-600}{x+20} > 0$
pour $x\in ]-\infty;-20[\cup ]60;+\infty[$
or $x$ est la vitesse moyenne sur la seconde partie du parcours donc $x >0$
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