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La fonction $f$ est la fonction carré définie sur $\mathbb{R}$.
On donne ci-dessous sa représentation graphique notée $C_f$.
\includegraphics[scale=0.8]{fig1}
  1. Dans le repère ci-dessus, tracer la droite $(d)$ d'équation $y=2x-1$.
    Que constate-t-on?
    Il faut déterminer les coordonnées de deux points de $(d)$ en prenant par exemple $x=0$ puis $x=2$ et en calculant l'ordonnée correspondante.
    Si on prend $x=0$, on a $y=2\times 0-1=-1$
    donc la droite passe par le point $A(0;-1)$
    Si on prend $x=2$, on a $y=2\times 2-1=3$
    donc la droite passe par le point $B(2;3)$.



    La droite $(d)$ est la tangente à la courbe au point de coordonnées $(1;1)$.
  2. Résoudre par le calcul l'équation $f(x)=2x-1$

    Identités remarquables


    $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
    $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
    Il faut passer tous les termes dans le membre de gauche puis factoriser car il y a des termes en $x^2$
    $f(x)=2x-1 \Longleftrightarrow x^2=2x-1$
    $\phantom{f(x)=2x-1}\Longleftrightarrow x^2-2x+1=0$
    $\phantom{f(x)=2x-1}\Longleftrightarrow (x-1)^2=0$
    $\phantom{f(x)=2x-1}\Longleftrightarrow x-1=0$
    $\phantom{f(x)=2x-1}\Longleftrightarrow x=1$
  3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe et de la droite $(d)$.
    L'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite $(d)$ est la solution de l'équation $f(x)=2x-1$
    On a aussi $y=2x-1$
    D'après la question précédente, le point d'intersection de la courbe et de la droite $(d)$ a pour abscisse la solution de l'équation $f(x)=2x-1$ soit $x=1$.
    On a alors $y=2\times 1-1=1$


    $A$ est le point de contact entre la courbe et la droite $(d)$.
    La droite $(d)$ est la tangente à la courbe au point $A$.

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