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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

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  1. Restituer le cours Montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$ est croissante sur $[0;+\infty[$
    Pour montrer que $f$ est croissante sur un intervalle I, il faut montrer que pour tous rées $x_1$ et $x_2$ de I, on a:
    $f(x_1) < f(x_2)$
    Pour tous réels $x_1$ et $x_2$ positifs tels que $x_1 < x_2$
    On veut comparer $f(x_2)$ et $f(x_1)$ donc on peut étudier le signe de la différence $f(x_2)-f(x_1)$
    $f(x_2)-f(x_1)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$
    on multiplie par l'expression conjuguée de $\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}$ soit $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\neq 0$ car $x_2>x_1\geq 0$ donc on obtient:
    $f(x_2)-f(x_1)=\dfrac{(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1})(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1})}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$
    $x_2>x_1$ donc $x_2-x_1>0$ et $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}>0$
    donc $f(x_2)-f(x_1)>0$ soit $f(x_2)>f(x_1)$
  2. Appliquer le cours Montrer que pour tout réel $x$ positif, $\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}$
    Développer $(x+1)^2$
    En remarquant que $(x+1)^2$ est strictement positif, justifier que $x^2+1>2x$ pour tout réel $x$ positif.
    Utiliser les variations de la fonction racine carrée pour comparer $\sqrt{x^2+1}$ et $ \sqrt{2x}$
    Pour tout réel $x$ positif, on a:
    $(x-1)^2\geq 0\Longleftrightarrow x^2-2x+1\geq 0 \Longleftrightarrow x^2+1\geq 2x$
    La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
    donc si $x^2+1\geq 2x \geq 0$ alors $\sqrt{x^2+1}\geq \sqrt{2x}$

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