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On considère les fonction $f$, $g$ définies par $f(x)=x^2$ et $g(x)=\dfrac{-1}{2}x+3$.
  1. Dans un repère orthonormé, tracer $C_f$ et $C_g$ les représentations graphiques respectivement des fonctions $f$ et $g$.

    Fonction affine


    Une fonction afffine est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=ax+b$.
    La représentation graphique d'une fonction affine est une droite coupant l'axe des ordonnées au point $(0;b)$ et l'axe des abscisses au point $\left(\dfrac{-b}{a}\right)$ (si $a\neq 0$).
    Si $a=0$ alors la droite est parallèle à l'axe des abscisses.
    On peut utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisament de points afin d'avoir un tracé précis
    La représentation graphique de la fonction carré est une parabole de sommet $O(0;0)$.
    $g$ est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur $a=\dfrac{-1}{2}$ et ordonnée à l'origine $b=3$.
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation $x^2 < \dfrac{-1}{2}x+3$.
    On cherche les abscisses des points de $C_f$ situé en-dessous de $C_g$
    Les solutions (en vert) sont les abscisses des points (en bleu) de la courbe $C_f$ situés strictement en dessous de $C_g$.

  3. Montrer que résoudre l'inéquation $f(x) < g(x)$ revient à étudier le signe de $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x+2)$.
    On peut calculer $f(x)-g(x)$ et développer $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x+2)$
    $f(x)< g(x) \Longleftrightarrow x^2< \dfrac{-1}{2}x+3 \Longleftrightarrow x^2+ \dfrac{1}{2}x-3 < 0$
    $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x+2)=x^2+2x-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{3}{2}\times 2=x^2+\dfrac{1}{2}x-3$
    Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence donc pour résoudre l'inéquation $f(x)< g(x)$ on peut étudier le signe de $f(x)-g(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(x+2)$
  4. En déduire l'ensemble de solution de l'inéquation $x^2 < \dfrac{-1}{2}x+3$ et comparer avec le résultat obtenu graphiquement.
    Il faut étudier le signe du produit de deux facteurs donc dresser un tableau de signes.
    $x-\dfrac{3}{2}=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$
    $x+2=0 \Longleftrightarrow x=-2$

    donc $f(x)-g(x) <0$ pour $x\in \left]-2;\dfrac{3}{2}\right[$

    On retrouve bien le résultat graphique avec $-2 < x <1,5$

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