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On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-1)^2+2$.
  1. Quel est l'ensemble de définition de $f$?

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    On peut calculer $f(x)$ pour tout réel $x$
  2. Calculer l'image de $1$ par $f$.

    Calcul d'une image


    Pour calculer l'image d'un nombre $\alpha$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$ il faut remplacer $x$ par la valeur $\alpha$ dans l'expression de $f$.
    Par exemple si $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-2x^2+5x-1$ alors l'image de $-2$ par $f$ est:
    $f(-2)=-2\times (-2)^2+5\times (-2)-1$
    $\phantom{f(-2)}=-8-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-2\times 4-10-1$
    $\phantom{f(-2)}=-19$
    Remarque: On peut calculer des images en utilisant le MENU TABLE de la calculatrice.
    On remplace $x$ par $1$
    $f(1)=(1-1)^2+2=0^2+2=2$
  3. Montrer que le minimum de $f$ est 2.

    Comparer deux nombres


    Soit $a$ et $b$ deux nombres réels, $a < b$ si et seulement si $b-a>0$
    Conséquence: Pour comparer deux nombres ou deux expressions, on peut étudier le signe de leur différence.
    Il faut comparer $f(x)$ et $2$ en étudiant le signe de $f(x)-2$
    $f(x)-2=(x-1)^2+2-2=(x-1)^2$
    Un carré est toujours positif donc $f(x)-2\geq 0$ soit $f(x)\geq 2$
    On a de plus $f(1)=2$

    $f(x)\geq 2$ ne suffit pas pour affirmer que le minimum est $2$ car il faut aussi être sur qu'il existe une valeur de $x$ pour laquelle on obtient cette valeur du minimum.
    Si on a seulement $f(x)\geq 2$ alors $3$ par exemple pour être le minimum de $f$ et on aurait bien $f(x)\geq 2$!
  4. On note $C_g$ la représentation graphique de la fonction $g$ définie par $g(x)=x^2$ (fonction carré).
    $x$ est un réel, exprimer $f(x+1)$ en fonction de $x$.
    Soit $M$ un point de $C_g$ d'abscisse $x$ et $M'$ un point de $C_f$ d'abscisse $x+1$. Quelle relation y-a-t-il entre les coordonnées de $M$ et celles de $M'$?
    Il faut exprimer $x_{M'}$ en fonction de $x_M$ et $y_{M'}$ en fonction de $y_M$.
    $x_{M'}=x+1=x_M+1$
    et $y_{M'}=f(x+1)=x^2+2=y_M+2$
  5. On donne ci-dessous la représentation graphique $C_g$ de la fonction carré $g$.
    En utilisant le résultat précédent, tracer sans calculs la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$.
    Le point $M'$ de $C_f$ s'obtient à partir du p'oint $M$ de $C_g$ par la translation de 1 unité selon l'axe des abscisses et 2 unités selon l'axe des ordonnées.
    On obtient le point un point de $C_f$ à partir d'un point de $C_g$ en effectuant une translation de vecteur $\overrightarrow{u}(1;2)$ , c'est à dire un déplacement de 1 unité selon l'axe des abscisses et 2 unités selon l'axe des ordonnées.


    Le minimum de $g$ est $0$ atteint en $x=0$ donc le minimum de $f$ est $0+2=2$ atteint en $x=0+1=1$ (voir question 3)

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