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On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x)=\dfrac{1}{x}$ et $g(x)=3x+2$.
  1. Quel est l'ensemble de définition $D_f$ de $f$? $D_g$ de $g$?

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    Il faut que le dénominateur soit différent de 0 donc $D_f=\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace=\mathbb{R}^{*}$
    $g$ est une fonction affine donc $D_g=\mathbb{R}$.
  2. Avec la calculatrice ou bien geogebra, représenter dans un même repère les courbes représentatives $C_f$ et $C_g$ des fonctions $f$ et $g$ puis conjecturer à laide du graphique les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)>g(x)$.
    On peut utiliser le MENU GRAPH de la cslculatrice
    On cherche les abscisses des points de $C_f$ situés au-dessus de $C_g$.
    Graphiquement, les solutions de l'inéquation $f(x) > g(x)$ sont les abscisses des points de $C_f$ situés strictement au-dessus de $C_g$.

  3. Montrer que pour tout réel $x$, $(x+1)(-3x+1)=-3x^2-2x+1$
    puis résoudre l'inéquation $f(x) > g(x)$ par le calcul.
    Il faut se ramener à l'étude du signe d'un quotient (tableau de signes).
    Pour tout réel $x$, on a:
    $(x+1)(-3x+1)=-3x^2+x-3x+1=-3x^2-2x+1$
    $-3x^2-2x+1$ $f(x) > g(x) \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} > 3x+2$
    $\phantom{f(x) > g(x)} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{x} - 3x-2 > 0$
    $\phantom{f(x) > g(x)} \Longleftrightarrow \dfrac{1-3x^2-2x}{x} > 0$
    $\phantom{f(x) > g(x)} \Longleftrightarrow \dfrac{(x+1)(-3x+1)}{x} > 0$ car $-3x^2-2x+1=(x+1)(-3x+1)$
    $x+1$ s'annule pour $x=-1$
    $-3x+1$ s'annule pour $x=\dfrac{1}{3}$
    $x$ s'annule pour $x=0$

    donc $f(x) > g(x)$ (zone bleue) pour $x\in ]-\infty;-1[\cup \left]0;\dfrac{1}{3}\right[$

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