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Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on donne $A(2;3)$, $B(0;-5)$ et $C(-4;-4)$.
penser à contrôler les résultats sur le graphique
  1. Calculer les coordonnées de $D$ image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$.

    Image d'un point par une translation


    $D$ est l'image de $C$ par la translation transformant $A$ en $B$ si $ABDC$ est un parallélogramme.
    $D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
    $A$ est l'origine et $B$ l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
    Il faut calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{BC}$ et les vecteurs $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BC}$ doivent être égaux (coordonnées égales).
    $\begin{cases} x_{\overrightarrow{BC}}=x_C-x_B=-4-0=-4\\ y_{\overrightarrow{BC}}=y_C-y_B=-4-(-5)=1 \end{cases}$
    donc $\overrightarrow{BC}(-4;1)$
    On pose $D(x;y)$.
    $D$ image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BC}$
    donc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
    $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_D-x_A=x_{\overrightarrow{BC}}\\ y_D-y_A=y_{\overrightarrow{BC}} \end{cases}$

    $\phantom{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_D-2=-4\\ y_D-3=1 \end{cases}$

    $\phantom{\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_D=-2\\ y_D=4 \end{cases}$

  2. Calculer les distances $AB$, $BC$ et $AC$.

    Distance dans un repère


    Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
    $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
    $\phantom{AB}=\sqrt{(0-2)^2+(-5-3)^2}$
    $\phantom{AB}=\sqrt{68}$


    $BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}$
    $\phantom{BC}=\sqrt{(-4-0)^2+(-4-(-5))^2}$ calculs avec les signes $-$ successifs
    $\phantom{AB}=\sqrt{17}$


    $AC=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}$
    $\phantom{AC}=\sqrt{(-4-2)^2+(-4-3)^2}$
    $\phantom{AC}=\sqrt{85}$
  3. En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.
    On a $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ et on peut montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$
    D'après la question 1, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
    donc $ABCD$ est un parallélogramme.
    $AB^2+BC^2=68+17=85$ et $AC^2=85$
    donc $AB^2+BC^2=AC^2$
    donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$.
    $ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit


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