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$ABCD$ est un rectangle, $I$ est le milieu de $[BD]$ et $E$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$.
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- Faire une figure en construisant les points $I$ et $E$.
Image d'un point par une translation
$D$ est l'image de $C$ par la translation transformant $A$ en $B$ si $ABDC$ est un parallélogramme.
$D$ est l'image de $B$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$
$A$ est l'origine et $B$ l'extrémité du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
- En utilisant la relation de Chasles, montrer que $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IE}$ et en déduire que les points $I$, $B$ et $E$ sont alignés.
On pourra exprimer les deux vecteurs en fonction de $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{AD}$.Relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$
On peut décomposer $\overrightarrow{BI}$ en utilisant le point $A$.
On a aussi $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}$$I$ milieu de $[BD]$ donc $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{ID}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}$
$\phantom{\overrightarrow{BI}}=\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$
$E$ est l'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$
donc$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}$
$\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{ID}+\overrightarrow{DE}$
$\phantom{\overrightarrow{IE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BA}$
donc $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IE}$
donc $I$ est le milieu de $[BE]$
- Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})$.
- Déterminer les coordonnées des points $I$ et $E$.
Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)On a $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}$$\begin{cases} x_I=\dfrac{x_A+x_D}{2}=\dfrac{0+0}{2}=0\\ y_I=\dfrac{y_A+y_D}{2}=\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \end{cases}$
$E$ est l'image de $D$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{BA}$
donc $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{BA}$
et $\overrightarrow{BA}(-1;0)$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{DE}}=x_{\overrightarrow{BA}}\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_{\overrightarrow{BA}} \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-x_D=-1\\ y_E-y_D=0 \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases}x_{\overrightarrow{DE}}=x_{\overrightarrow{BA}}\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_{\overrightarrow{BA}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E-0=-1\\ y_E-1=0 \end{cases} $
$\phantom{\begin{cases}x_{\overrightarrow{DE}}=x_{\overrightarrow{BA}}\\ y_{\overrightarrow{DE}}=y_{\overrightarrow{BA}} \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} x_E=-1\\ y_E=1 \end{cases} $
- Montrer que les points $B$, $I$ et $E$ sont alignés.
Critère de colinéarité dans un repère
Dans un repère du plan, $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{w}(x'y')$ non nuls sont colinéaires si et seulement si $xy'-x'y=0$Il faut calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{IE}$ (ou bien $\overrightarrow{BE}$$\begin{cases}x_{\overrightarrow{BI}}=x_I-x_B=0-1=-1\\ y_{\overrightarrow{BI}}=y_I-y_B=\dfrac{1}{2}-0=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{BI}\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)$
$\begin{cases}x_{\overrightarrow{IE}}=x_E-x_I=-1-0=-1\\ y_{\overrightarrow{IE}}=y_E-y_I=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$
donc $\overrightarrow{IE}\left(-1;\dfrac{1}{2}\right)$
Les coordonnées des vecteurs$\overrightarrow{BI}$ et $\overrightarrow{IE}$ sont égales
donc $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IE}$
donc $I$ milieu de $[BE ]$
Avec le critère de colinéarité, on a: $(-1)\times \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times (-1)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0$...
Méthode analytique
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