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On effectue une enquête pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels pour un nouveau smartphone.
On interroge $500$ personnes et parmi celles-ci 180 se déclarent prêtes à acheter ce nouveau smartphone.
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On interroge $500$ personnes et parmi celles-ci 180 se déclarent prêtes à acheter ce nouveau smartphone.
- Déterminer la fréquence $f$ de l'échantillon puis l'intervalle de confiance (bornes aux centièmes) au seuil de 95%.
Intervalle de confiance-estimation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
On note $p$ la proportion du caractère dans la population totale ($p$ étant inconnue)
Si $0,2\leq f\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
L'intervalle de confiance au seuil de 95\ est $I_C=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ .
On peut estimer que $p$ est dans cet intervalle avec un seuil de confiance de 95\.
L'amplitude de cet intervalle (écart entre les deux bornes) est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$Penser à vérifier les conditions d'application de l'intervalle de confianceOn a ici $n=500$ et $f=\dfrac{180}{500}=0,36$
On a bien $n\geq 25$ et $f\in [0,2;0,8]$
$f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,36-\dfrac{1}{\sqrt{500}}\approx 0,31$ (arrondir par défaut)
$f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=0,365+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\approx 0,41$ (arrondir par excès)
donc avec ce sondage, on peut dire qu'entre 31 et 41% des personnes vont acheter ce smartphone au seuil de confiance de 95% - Si on veut réduire l'amplitude de l'intervalle de confiance et que cette amplitude soit inférieure à $,1$, combien de personnes au minimum faut-il interroger?
Intervalle de confiance-estimation
On prélève un échantillon de taille $n$ dans une population.
On note $f$ la fréquence du caractère dans l'échantillon prélevé.
On note $p$ la proportion du caractère dans la population totale ($p$ étant inconnue)
Si $0,2\leq f\leq 0,80$et $n\geq 25$ alors dans au moins 95\ des cas,
L'intervalle de confiance au seuil de 95\ est $I_C=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ .
On peut estimer que $p$ est dans cet intervalle avec un seuil de confiance de 95\.
L'amplitude de cet intervalle (écart entre les deux bornes) est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$On veut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leq 0,1$L'amplitude de l'intervalle de confiance est $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.
On veut donc $\dfrac{2}{\sqrt{n}}leq 0,1$
$\dfrac{2}{\sqrt{n}}\leq 0,1$ donc $2\leq 0,1\sqrt{n}$
soit $\leq \sqrt{n}$ donc $n\geq 20^2$
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