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  1. Montrer que la somme de 7 entiers consécutifs est divisible par $7$.

    Multiple


    Un nombre entier naturel $a$ est un multiple de $b \in \mathbb{N}^*$ ($b$ entier naturel non nul)si il existe un entier relatif $k$ tel que $a=kb$
    On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$
    Si $n $ est le premier de ces entiers, les suivants sont $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$, $n+5$ et $n+6$
    Il faut factotiser la somme par $7$
    Si $n $ est le premier de ces entiers, les suivants sont $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$, $n+5$ et $n+6$
    $S=n +n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6$
    $~~~~=7n+7$
    $~~~~=7(n+1)$

    $~~~~=7k$ avec $k=n+1$ et donc $k\in \mathbb{Z}$
    donc $S$ est un multiple de $7$
  2. Montrer que la somme de 7 entiers pairs consécutifs est divisible par $7$.
    Si $n $ est le premier de ces entiers, les entiers pairs suivants sont $n+2$, $n+4$, $n+6$, $n+8$, $n+10$ et $n+12$
    Il faut factotiser la somme par $7$
    Si $n $ est le premier de ces entiers, les suivants sont $n+2$, $n+4$, $n+6$, $n+8$, $n+10$ et $n+12$
    $S=n +n+2+n+4+n+6+n+8+n+10+n+12$
    $~~~~=7n+42$
    $~~~~=7(n+6)$

    $~~~~=7k$ avec $k=n+6$ et donc $k\in \mathbb{Z}$
    donc $S$ est un multiple de $7$

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