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Pour chacun des cas ci-dessous, $f$ est une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ et on note $\mathbb{P}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. Donner les coordonnées du sommet de $\mathcal{P}$ puis dresser le tableau de variation de $f$
  1. $f(x)=2x^2-8x+1$

    Forme canonique


    Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
    Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$

    Variations fonction polynôme du second degré


    Soit la fonction $P$ définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $P (x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$
    La courbe représentative de $P$ est une parabole dont le sommet a pour coordonnées $(\alpha; \beta)$.
    Tableau de variation:
    Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ dans $ax^2+bx+c$
    Calculer $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ puis $f(\alpha)$ puis utiliser le signe de $a$ pour les variations
    $f(x)=2x^2-8x+1$ est un polynôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=2$, $b=-8$ et $c=1$)
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$

    $\beta=f(\alpha)=2\times 2^2-8\times 2+1=-7$

    La forme canonique de $f$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=2(x-2)^2-7$ et le sommet S de la parabole a pour coordonnées $S(2;-7)$


    Le coefficient $a$ de $x^2$ est positif donc la fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;2[$ et croissante sur $]2;+\infty[$
  2. $f(x)=-3x^2+6x-2$
    Il faut identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$
    $f(x)=-3x^2+6x-2$ est un polynôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-3$, $b=6$ et $c=-2$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-6}{-6}=1$

    $\beta=f(\alpha)=f(1)=-3+6-2=1$

    La forme canonique de $f$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=-3(x-1)^2+1$ et le sommet S de la parabole a pour coordonnées $S(1;1)$

    Le coefficient $a$ de $x^2$ est négatif donc la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;1[$ et décroissante sur $]1;+\infty[$
  3. $f(x)=10x+3-2x^2$
    les termes de $f(x)$ ne sont pas ordonnés selon les puissances décroissantes de $x$
    Commencer par écrire $f(x)$ sous la forme $ax^2+bx+c$ et identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$
    $f(x)=10x+3-2x^2=-2x^2+10x+3$ est un polynôme de degré 2 de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a=-2$, $b=10$ et $c=3$
    $\alpha=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-10}{-4}=\dfrac{5}{2}$
    $\beta=f(\alpha)=f\left(\dfrac{5}{2}\right)=-2\times \dfrac{25}{4}+10\times \dfrac{5}{2}+3=\dfrac{-25}{2}+25+3=\dfrac{31}{2}$
    La forme canonique de $f$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=-2\left(x-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{31}{2}$ et le sommet S de la parabole a pour coordonnées $S\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{31}{2}\right)$

    Le coefficient $a$ de $x^2$ est négatif donc la fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;\dfrac{5}{2}[$ et décroissante sur $]\dfrac{5}{2};+\infty[$

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