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Résoudre les équations suivantes:
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- $\dfrac{1}{x-3}=4x-1$
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Il faut chercher l'ensemble de définition avant de résoudre car le dénominateur $x-3$ ne doit pas être nul.
On peut utiliser les produits en croix
Se ramener ensuite à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$Il faut $x-3\neq 0$ soit $x\neq 3$
On résout donc cette équation sur $\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 3 \right\rbrace $ (ensemble des réels différents de 3)
$\dfrac{1}{x-3}=4x-1 \Longleftrightarrow 1=(x-3)(4x-1)$
$\phantom{\dfrac{1}{x-3}=4x-1} \Longleftrightarrow 1=4x^2-12x-x+3$
$\phantom{\dfrac{1}{x-3}=4x-1} \Longleftrightarrow 0=4x^2-12x-x+3-1$
$\phantom{\dfrac{1}{x-3}=4x-1}\Longleftrightarrow 4x^2-13x+2=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-13)^2-4\times 4\times 2=169-32=137$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{13-\sqrt{137}}{8}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{13+\sqrt{137}}{8}$
Les deux solutions obtenues appartiennent à l'ensemble de définition (sont donc différentes de 3)
L'équation admet deux solutions $x_1=\dfrac{13-\sqrt{137}}{8}$ et $x_2=\dfrac{13+\sqrt{137}}{8}$
Penser à vérifier les calculs avec le MENU EQUATION de la calculatrice - $\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}=-2$
Il faut chercher l'ensemble de définition avant de résoudre car le dénominateur $x-3$ ne doit pas être nul.
Se ramener ensuite à une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$Il faut $x-1\neq 0$ soit $x\neq 1$
On résout donc cette équation sur $\mathbb{R}\setminus \left\lbrace 1 \right\rbrace $ (ensemble des réels différents de 1)
$\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}=-2 \Longleftrightarrow x^2+2x+3=-2(x-1)$
$\phantom{\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}=-2} \Longleftrightarrow x^2+2x+3=-2x+2$
$\phantom{\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}=-2}\Longleftrightarrow x^2+2x+3+2x-2=0$
$\phantom{\dfrac{x^2+2x+3}{x-1}=-2}\Longleftrightarrow x^2+4x+1=0$
$\Delta=b^2-4ac=4^2-4\times 1\times 1=12$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines:
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4-\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-4-2\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(-2-\sqrt{3})}{2}=-2-\sqrt{3}$
et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-4+\sqrt{12}}{2}=\dfrac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$
Les deux solutions obtenues appartiennent à l'ensemble de définition (sont différentes de 1).
L'équation admet deux solutions $x_1=-2-\sqrt{3}$ et $x_2=-2+\sqrt{3}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Résolution d'équation commentées pas à pas
- exemples types d'équations pas à pas
infos: | 8-12mn |
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