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Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations
  1. $3x^4-5x^2+2=0$

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.
    On pose $X=x^2$
    On a alors $x^4=(x^2)^2=X^2$ et $x^2=X$ à remplacer dans l'équation
    Recherche des solutions $X$ de l'équation de degré 2 ainsi obtenue
    Déterminer ensuite $x$ sachant que l'on a $X^2=x$
    $3x^4-5x^2+2=0$
    On pose $X=x^2$ donc $X\in[0;+\infty[$.
    Il faut alors résoudre l'équation $3X^2-5X+2=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 2=1$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5-\sqrt{1}}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$
    et $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{5+\sqrt{1}}{6}=\dfrac{6}{6}=1$
    bien différencier $X$ et $x$, on cherche à déterminer ensuite la valeur de $x$
    Recherche des valeurs de $x$
    $x^2=X_1=\dfrac{2}{3} \Longleftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ou bien $x=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
    ou bien
    $x^2=X_2=1 \Longleftrightarrow x=1$ ou bien $x=-1$
    L'équation admet quatre solutions $x_1=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $x_2=-1$ et $x_3=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $x_4=1$



    On pouvait ici éviter de calculer $\Delta$ en remarquant que la somme des coefficients $a$, $b$ et $c$ du polynôme est nulle
    et donc que $X_1=1$ est une solution de $3X^2-5X+2=0$ et en utilisant le produit des racines $X_1\times X_2=\dfrac{c}{a}$
  2. $2x^4-3x^2-2=0$
    On pose $X=x^2$
    On a alors $x^4=(x^2)^2=X^2$ et $x^2=X$ à remplacer dans l'équation
    $2x^4-3x^2-2=0$
    On pose $X=x^2$ donc $X\in[0;+\infty[$.
    Il faut alors résoudre l'équation $2X^2-3X-2=0$
    $\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\times 2\times (-2)=25$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $X_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{3-\sqrt{25}}{4}=\dfrac{-1}{2}$
    et
    $X_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}==\dfrac{3+\sqrt{25}}{4}=2$
    Recherche des valeurs de $x$
    $x^2=X_1=\dfrac{-1}{2}$
    Cette équation n'admet aucune solution.
    ou bien
    $x^2=X_2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou bien $x=-\sqrt{2}$

    L'équation admet deux solutions $x_1=-\sqrt{2}$ et $x_2=\sqrt{2}$


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