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Résoudre les inéquations suivantes
  1. $x^2-4x+3>0$

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Rechercher les racines de $x^2-4x+3$
    Dresser le tableau de signe de $x^2-4x+3$
    Donner l'ensemble de solution de l'inéquation
    Ici on a $a=1$, $b=-4$ et $c=3$
    $\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times 1\times 3=16-12=4$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4-2}{2}=1$
    $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4+2}{2}=3$
    Etude du signe de $x^2-4x+3$

    $x^2-4x+3>0$ pour $x\in ]-\infty;1[\cup ]3;+\infty[$


    On pouvait éviter de calculer $\Delta$.
    La somme des coefficients est nulle, $a+b+c=0$

    donc $x_1=1$ est une racine de $x^2-4x+3$

    On peut utiliser le produit des racines soit $x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}$
    donc $x_2=\dfrac{3}{1}=3$
  2. $-2x^2+5x-2>0$
    Rechercher les racines de $-2x^2+5x-2$
    Dresser le tableau de signe de $-2x^2+5x-2$
    Donner l'ensemble de solution de l'inéquation
    Ici on a $a=-2$, $b=5$ et $c=-2$
    $\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times (-2)\times (-2)=25-16=9$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines:
    $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-3}{-4}=\dfrac{-8}{-4}=2$
    et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+3}{-4}=\dfrac{-2}{-4}=\dfrac{1}{2}$
    Etude du signe de $-2x^2+5x-2$

    $x^2-4x+3>0$ pour $x\in \left]\dfrac{1}{2};2\right[ $
  3. $-2x^2+5x-4>0$
    $\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times (-2)\times (-4)=25-32=-7$
    $\Delta <0$ donc il n'y a aucune racine
    et $-2x^2+5x-4$ est du signe de $a=-2$ coefficient de $x^2$ soit:

    donc $-2x^2+5x-4$ est toujours strictement négatif et cette inéquation n'admet aucune solution.

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Inéquations commentées pas à pas

Exemples de résolution d'inéquations en utilisant le signe du polynôme du second degré


infos: | 8-12mn |

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