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On considère l'équation $(E)$ donnée par $mx^2+(m-1)x+1=0$ où $m\in \mathbb{R^*}$. Déterminer le nombre de solutions de $(E)$ selon les valeurs de $m$
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- Exprimer le discriminant $\Delta$ en fonction de $m$.
Discriminant
$P(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
Le discriminant du polynôme du second degré $P$ est $\Delta=b^2-4ac$Ici on a $a=m$, $b=m-1$ et $c=1$
$\Delta=b^2-4ac=(m-1)^2-4\times m\times 1=m^2-2m+1-4m=m^2-6m+1$
- Déterminer les racines de de $m^2-6m+1$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.$\Delta_1=(-6)^2-4\times 1\times 1=32$
$\Delta_1>0$ donc $m^2-6m+1$ admet deux racines:
$m_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6-\sqrt{32}}{2}=\dfrac{6-4\sqrt{2}}{2}=3-2\sqrt{2}$
et
$m_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{6+\sqrt{32}}{2}=\dfrac{6+4\sqrt{2}}{2}=3+2\sqrt{2}$
- En déduire le nombre de solutions de l'équation $mx^2+(m-1)x+1=0$ en fonction des valeurs de $m$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Etude du signe de $m^2-6m+1$
$m_1=3-2\sqrt{2}\approx 0,2$ et $m_2=3+2\sqrt{2}\approx 5,8$
$m\in \mathbb{R}^*$
donc $mx^2+(m-1)x+1=0$ admet deux solutions pour $m\in ]-\infty;0[\cup ]0;3-2\sqrt{2}[\cup ]3+2\sqrt{2};+\infty[$
une solution pour $m=3-2\sqrt{2}$ ou $m=3+2\sqrt{2}$
et aucune solution si $m\in ]3-2\sqrt{2};3+2\sqrt{2}[$
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